Em cada item, supor que a matriz aumentada (ou ampliada) do sistema tenha sido reduzida por operações elementares sobre linhas às seguintes formas escalonadas (algumas reduzidas). Resolver os sistemas: \left[\begin{array}{lll|l}1 & 0 & 0 & 4 \\\\ 0 & 1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado fornece a matriz aumentada escalonada do sistema (peguei todos os números da matriz dada):
O que é pedido: resolver o sistema linear correspondente, ou seja, encontrar os valores das incógnitas (vou chamar as incógnitas de x, y e z) que satisfazem esse sistema.
Informações relevantes extraídas da matriz:
A primeira linha da matriz ampliada tem coeficientes (1,0,0) e termo independente 4.
A segunda linha tem coeficientes (0,1,0) e termo independente 3.
A terceira linha tem coeficientes (0,0,1) e termo independente 2.
Passo 2
Entendendo o que cada linha representa: a matriz aumentada corresponde ao sistema de equações obtido lendo cada linha como uma equação do tipo “coeficientes · incógnitas = termo independente”. Escrevendo explicitamente:
\text{linha 1: }1\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 4,
\text{linha 2: }0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z = 3,
\text{linha 3: }0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z = 2.
Explicação do que isso significa (mini-aula curta): cada equação acima é bem simples porque os coeficientes das outras incógnitas são zero. Quando uma equação tem a forma
isso nos dá diretamente o valor dessa incógnita — não há necessidade de eliminar mais nada. Esse é o caso típico quando a matriz de coeficientes já é a matriz identidade, que é a forma reduzida por linhas (forma escalonada reduzida).
Passo 3
Lendo cada equação para obter as incógnitas:
1\cdot x = 4 \quad\Rightarrow\quad x=4,
1\cdot y = 3 \quad\Rightarrow\quad y=3,
1\cdot z = 2 \quad\Rightarrow\quad z=2.
Dica didática: sempre procure na matriz aumentada por “1” como único coeficiente não nulo numa linha — isso indica uma incógnita isolada. Se todas as colunas de incógnitas tiverem um pivô (um desses 1’s liderando uma linha), então o sistema tem solução única.
Passo 4
Interpretação do tipo de solução: a matriz de coeficientes aqui é
que é a matriz identidade de ordem 3. Isso significa que o posto da matriz de coeficientes é 3, igual ao número de incógnitas, logo o sistema é compatível determinado — tem exatamente uma solução (a que encontramos).]
Passo 5
Verificação rápida (substituir a solução nas equações): substituindo (x,y,z)=(4,3,2) nas equações da Passo 2, obtemos
1\cdot 4+0\cdot 3+0\cdot 2 = 4,
0\cdot 4+1\cdot 3+0\cdot 2 = 3,
0\cdot 4+0\cdot 3+1\cdot 2 = 2,
que conferem com os termos independentes, então a solução está correta. Força aí — esse tipo de sistema direto é tranquilo na prova: reconhece a identidade e escreve os valores das incógnitas.