Quais das seguintes matrizes 3 \times 3 estão em forma escalonada?
\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & 0 \\[6pt] 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}
está em forma escalonada por linhas. Vamos usar a definição de forma escalonada para matrizes.]

Passo 2

Uma matriz está em forma escalonada por linhas se satisfaz três condições:
  1. Todas as linhas nulas (se houver) ficam abaixo das não nulas.
  2. O primeiro elemento não nulo (pivô) de cada linha aparece sempre numa coluna à direita do pivô da linha anterior.
  3. Em cada coluna de pivô, os elementos abaixo dele são todos zeros.

Passo 3

Aplicando à matriz A:
  • Não há linha completamente nula, então a condição 1 está ok.
  • Linha 1 tem pivô em coluna 1 (elemento 1).
  • Linha 2 tem pivô em coluna 2 (elemento 1), que está à direita do pivô da linha 1. Até aqui, condição 2 segue ok.

Passo 4

  • Linha 3 tem primeiro elemento não nulo 2 em coluna 2. Portanto o pivô da linha 3 está na mesma coluna do pivô da linha 2, e não à direita. Isso viola a condição 2 da forma escalonada.

Resposta

A matriz não está em forma escalonada por linhas.

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