Quais das seguintes matrizes 3 \times 3 estão em forma escalonada?
\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para a gente verificar se a matriz
M = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\[6pt] 0 & 0 & 1 \\[6pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
está em forma escalonada (row echelon form). Para isso, vamos usar a definição de forma escalonada e checar cada condição.]

Passo 2

Definição de forma escalonada:
1. Todas as linhas nulas (todas as entradas iguais a zero) estão abaixo das linhas não nulas.
2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (o pivô) aparece à direita do pivô da linha imediatamente acima.
Não exigimos aqui que os pivôs sejam iguais a 1 nem que existam zeros acima deles (isso seria forma escalonada reduzida).

Passo 3

Vamos identificar os pivôs de cada linha não nula de M:
  • Linha 1: (1\;\,3\;\,4) → pivô em coluna 1.
  • Linha 2: (0\;\,0\;\,1) → pivô em coluna 3.
  • Linha 3: (0\;\,0\;\,0) é linha nula.
Agora conferimos as condições:
  • Linha nula (linha 3) está abaixo das linhas não nulas (linhas 1 e 2): OK.
  • O pivô da linha 2 (coluna 3) está à direita do pivô da linha 1 (coluna 1): OK.
Todas as condições da forma escalonada são atendidas.

Resposta

A matriz
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\[3pt] 0 & 0 & 1 \\[3pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
está em forma escalonada.]

Exercícios relacionados