Quais das seguintes matrizes 3 \times 3 estão em forma escalonada?
\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá uma única matriz 3\times3:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e pergunta se ela está em forma escalonada (row echelon form). Para isso, vamos lembrar os critérios dessa forma.

Passo 2

Uma matriz está em forma escalonada se satisfaz três condições principais:
  1. Todas as linhas zero (se houver) estão abaixo das linhas não nulas.
  2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (pivô) é 1 e está à direita do pivô da linha acima.
  3. Todos os elementos abaixo de um pivô são zero.

Passo 3

Verificamos a disposição das linhas de A:
  • A linha 1 é (1\;2\;0), não nula.
  • A linha 2 é (0\;1\;0), não nula.
  • A linha 3 é (0\;0\;0), linha zero.
    Como a linha zero está embaixo das não nulas, a condição 1 está satisfeita.

Passo 4

Agora identificamos os pivôs e checamos o deslocamento:
  • Na linha 1, o pivô é o elemento 1 que aparece na coluna 1.
  • Na linha 2, o pivô é o elemento 1 que aparece na coluna 2, à direita do pivô da linha 1.
  • Na linha 3 não há pivô (linha zero).
    Além disso, abaixo de cada pivô todos os elementos são zero. Logo, as condições 2 e 3 também são cumpridas.

Resposta

A matriz
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
está em forma escalonada.

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