Quais das seguintes matrizes 3 \times 3 estão em forma escalonada?
\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pergunta se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
está em forma escalonada. Para responder, vamos usar a definição de forma escalonada de linha.

Passo 2

Definição de forma escalonada de linha:
  1. Todas as linhas nulas (todas as entradas zero) devem ficar abaixo das linhas não nulas.
  2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não zero (pivot) deve ficar estritamente à direita do pivot da linha acima.
  3. Todas as entradas abaixo de cada pivot devem ser zero (mas isso já está satisfeito aqui).

Passo 3

Identificamos os pivôs de A:
– Na primeira linha, o pivot é o elemento a_{11}=1.
– A segunda linha é toda zero.
– A terceira linha tem pivot em a_{33}=1, que está na coluna 3.

Passo 4

Verificamos as condições:
– O pivot da terceira linha está na coluna 3, que é à direita do pivot da primeira linha (coluna 1). Isto atende à condição 2.
– Porém, há uma linha nula (a segunda) acima de uma linha não nula (a terceira), o que viola a condição 1.

Resposta

A matriz não está em forma escalonada.

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