Os seguintes problemas se relacionam com a periodicidade dos sinais:
e) Se z(t) é periódico de período fundamental T 0, z e(t)=0.5[z(t)+z(-t)] também é periódico? Em caso afirmativo, determine seu período fundamental T0. E quanto a z o(t)=0.5[z(t)-z(-t)] ?

Passo 1

O enunciado nos dá uma função periódica z(t) de período fundamental T_0 e define as suas partes par e ímpar por
z_e(t)=\tfrac12\bigl[z(t)+z(-t)\bigr] \quad\text{e}\quad z_o(t)=\tfrac12\bigl[z(t)-z(-t)\bigr].
Precisamos descobrir se z_e(t) e z_o(t) são periódicas e, em caso afirmativo, qual é o seu período fundamental. Vamos usar a propriedade básica de periodicidade:
z(t+T_0)=z(t)\quad\forall\,t.

Passo 2

Mostramos primeiro que z(-t) também é periódica de período T_0. De fato, substituindo na relação de periodicidade \,t\mapsto -t, temos
z\bigl(-t+T_0\bigr)=z\bigl(-t\bigr).
Isso mostra que z(-t) satisfaz a mesma condição de período T_0.

Passo 3

Agora analisamos z_e(t). Para qualquer t:
z_e(t+T_0) =\tfrac12\bigl[z(t+T_0)+z(-(t+T_0))\bigr] =\tfrac12\bigl[z(t)+z(-t)\bigr] =z_e(t).
Logo z_e(t) é periódico de período T_0.

Passo 4

De modo análogo para z_o(t):
z_o(t+T_0) =\tfrac12\bigl[z(t+T_0)-z(-(t+T_0))\bigr] =\tfrac12\bigl[z(t)-z(-t)\bigr] =z_o(t).
Portanto z_o(t) também é periódico de período T_0.

Resposta

Tanto z_e(t) quanto z_o(t) são periódicas e têm como período fundamental T_0.

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