Os seguintes problemas se relacionam com a periodicidade dos sinais:
b) Encontre o período fundamental T de z(t)=1+\boldsymbol{\operatorname { s e n }}(t)+\boldsymbol{\operatorname { s e n }}(3 t) ;-\infty<\mathrm{t}<\omega.

Passo 1

O enunciado pede o período fundamental de z(t)=1+\sin(t)+\sin(3t). O conteúdo envolve sinais periódicos e o conceito de período fundamental, que é o menor T>0 tal que z(t+T)=z(t) para todo t. Vamos usar que o período de uma soma de sinais periódicos é o mínimo múltiplo comum (mmc) dos períodos individuais.

Passo 2

Identificamos os períodos de cada termo de z(t):
O termo constante 1 é periódico para qualquer T.
O sinal \sin(t) tem período
T_1 = 2\pi
O sinal \sin(3t) tem período
T_2 = \frac{2\pi}{3}

Passo 3

Procuramos o menor T>0 que seja múltiplo inteiro de T_1 e de T_2. Ou seja, existem inteiros n,m tais que
T = n\,T_1 = m\,T_2.
Substituindo T_1 e T_2:
n\,(2\pi) = m\,\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{m}{3}.
Para n inteiro, m deve ser múltiplo de 3; o menor m possível é m=3, o que dá n=1 e
T = 1\cdot(2\pi) = 2\pi.

Resposta

T = 2\pi

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