Os seguintes resultados de uma regressão tomaram como base dados mensais do período janeiro de 1978 a dezembro de 1987:
Em que,
é a taxa mensal de retorno das ações ordinárias da Texaco, em %, e
é a taxa mensal de retorno do mercado, em %.
a) Qual a diferença entre os dois modelos de regressão?
b) Dados os resultados obtidos, você manteria o termo de intercepto no primeiro modelo? Justifique sua resposta.
c) Como interpretar os coeficientes angulares dos dois modelos?
d) Qual a teoria que embasa os dois modelos?
e) Você pode comparar os
dos dois modelos? Justifique.
f) A estatística Jarque-Bera de normalidade para o primeiro destes modelos é igual a 1,1167 e para o segundo modelo, 1,1170 . Que conclusões você pode tirar dessas estatísticas?
g) O valor t do coeficiente angular do modelo com intercepto zero é de cerca de 2,95 , enquanto o do modelo com intercepto presente é de 2,81 . Há alguma lógica por trás desse resultado?
a) Qual a diferença entre os dois modelos de regressão?
b) Dados os resultados obtidos, você manteria o termo de intercepto no primeiro modelo? Justifique sua resposta.
c) Como interpretar os coeficientes angulares dos dois modelos?
d) Qual a teoria que embasa os dois modelos?
e) Você pode comparar os
f) A estatística Jarque-Bera de normalidade para o primeiro destes modelos é igual a 1,1167 e para o segundo modelo, 1,1170 . Que conclusões você pode tirar dessas estatísticas?
g) O valor t do coeficiente angular do modelo com intercepto zero é de cerca de 2,95 , enquanto o do modelo com intercepto presente é de 2,81 . Há alguma lógica por trás desse resultado?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido, com os números exatamente como foram fornecidos.
Dados (peguei estes números do enunciado):
-
Modelo A (com intercepto):Erros-padrão:Estatísticas t:Valores-p:
. -
Modelo B (sem intercepto; forçado a passar pela origem):Erro-padrão do coeficiente:Estatística t:Valor-p:
.
O que o enunciado pede (resumido em perguntas):
a) Qual a diferença entre os dois modelos de regressão?
b) Manteria o termo de intercepto no primeiro modelo? Justifique.
c) Interpretação dos coeficientes angulares dos dois modelos.
d) Qual a teoria que embasa os dois modelos?
e) Posso comparar os dos dois modelos? Justifique.
f) Interpretação das estatísticas Jarque–Bera dadas ( e
).
g) Por que o t do coeficiente angular muda (cerca de sem intercepto e
com intercepto)? Há lógica nisso?
a) Qual a diferença entre os dois modelos de regressão?
b) Manteria o termo de intercepto no primeiro modelo? Justifique.
c) Interpretação dos coeficientes angulares dos dois modelos.
d) Qual a teoria que embasa os dois modelos?
e) Posso comparar os
f) Interpretação das estatísticas Jarque–Bera dadas (
g) Por que o t do coeficiente angular muda (cerca de
Passo 2
Diferença estrutural entre os modelos — conceito e fórmulas básicas (sem cálculos ainda).
-
Modelo com intercepto: ajustaestimando dois parâmetros
e . A forma de (OLS) é e.
Propriedade importante: os resíduos têm soma zeroe a decomposição da soma dos quadrados TSS = RSS + ESS vale de forma usual, o que torna o convencionalmente interpretável. -
Modelo sem intercepto (forçado a origem):estimando apenas
. A fórmula OLS neste caso é Aqui não se centra em torno da média; não é garantido que. A decomposição clássica TSS = RSS + ESS não se mantém na forma usual, portanto medidas como ficam com interpretação diferente.
Resumo prático: a diferença é que um modelo permite deslocamento vertical (
) e o outro obriga a reta a passar por
. Isso altera estimadores, erros-padrão, graus de liberdade e interpretação do
.
Passo 3
Decisão sobre manter o termo de intercepto — teste estatístico e raciocínio prático.
- Hipótese a testar (para o intercepto do Modelo A):
- Do enunciado: estatística t para
é com valor-p . - Interpretação: esse valor-p é muito grande (bem maior que níveis usuais como
, ou ). Portanto, estatisticamente não há evidência para rejeitar — ou seja, não há evidência de que seja diferente de zero.
Recomendação prática (justificativa):
- Estatística: como
, não há suporte estatístico para manter o intercepto diferente de zero; portanto, do ponto de vista estritamente estatístico, poderia-se retirar o intercepto (usar o modelo sem intercepto). - Teoria/robustez: entretanto, forçar a origem só é correto se houver razão teórica forte (por exemplo, se
e forem retornos em excesso sobre a taxa livre de risco e a teoria que se testa exige — é o caso do CAPM). Se não houver essa justificativa teórica, é geralmente mais seguro manter o intercepto, porque forçar a origem pode introduzir viés no estimador de se a verdadeira for pequena mas não exatamente zero ou se houver erros de medida. - Conclusão prática: estatisticamente não é necessário manter o intercepto (pois ele não é significativo). Contudo, manter ou remover deve considerar também justificativa teórica; se se está testando o CAPM com retornos em excesso, remover (usar intercepto zero) é aceitável; caso contrário, eu tenderia a manter o intercepto por prudência.
Passo 4
Interpretação dos coeficientes angulares — o que significam numericamente nos dois modelos.
-
Significado geral do coeficiente angular em regressões de retorno-mercado:
mede sensibilidade do retorno da ação ao retorno do mercado; na linguagem financeira, é o risco sistemático (beta de mercado). Uma de significa que, em média, a ação varia tanto quanto o mercado; significa menos volátil que o mercado; significa mais volátil. -
Valores numéricos:
- Com intercepto:
. Interpretação prática: um aumento de no retorno do mercado está associado a um aumento médio de aproximadamente no retorno mensal da Texaco, ceteris paribus. - Sem intercepto:
. Interpretação prática idêntica em sentido: no mercado cerca de na Texaco.
- Com intercepto:
-
Por que os números são parecidos mas não idênticos:
Porque as fórmulas de estimação são diferentes (usa desvios em torno da média; usa produto direto ), e porque as somas de quadrados e a presença do intercepto alteram os resíduos e, portanto, o estimador. Assim, medidas próximas indicam que o intercepto de fato é pequeno e que os dados suportam uma relação quase-proporcional, mas pequenas diferenças existem.
Passo 5
Teoria que embasa os dois modelos — explicação didática e concreta.
-
Modelo de mercado / Market Model:onde
é o retorno da ação no período , é o retorno do mercado, é a sensibilidade da ação ao mercado, é o retorno anômalo médio (alpha) e é erro idiossincrático com média zero. Este é um modelo empírico padrão em finanças para decompor retornos entre parte explicada pelo mercado e parte específica. -
CAPM (Capital Asset Pricing Model) — teoria que muitas vezes motiva usar regressão (quando se trabalham com retornos em excesso):
A relação do CAPM (para retornos esperados) éSe regressarmos retornos em excesso sobre(ou seja, e já são excessos), o CAPM implica na população; daí a justificativa teórica para um modelo sem intercepto. Em prática, testa-se se empiricamente é diferente de zero para julgar se o ativo tem retorno anômalo.
Passo 6
Comparação dos
dos dois modelos — pode-se comparar? por quê?
- Valores fornecidos:
- Questão conceitual: o
usual é definido como onde e . Essa decomposição e interpretação dependem de que o modelo inclua um intercepto (assim é o ponto de referência e ). Quando o intercepto é omitido, a TSS usada para definir pode ser diferente (algumas implementações usam como TSS), e a decomposição não é equivalente; logo, entre modelos com e sem intercepto não é diretamente comparável em termos formais. - Conclusão prática: não é correto comparar diretamente os
dos dois modelos como se fossem medidas equivalentes. Nesse caso os dois são muito próximos, sugerindo ajuste semelhante, mas a comparação formal deve considerar a diferença na definição e nos graus de liberdade. Melhor comparar SSE, RMSE ou usar testes específicos (F de inclusão do intercepto) ou comparar erros padrão/resíduos.
Passo 7
Interpretação das estatísticas Jarque–Bera fornecidas e conclusão sobre normalidade.
- Jarque–Bera (JB) para os dois modelos:
e . - Sob a hipótese nula de normalidade dos resíduos,
segue assintoticamente uma com graus de liberdade. O valor crítico para 5% é aproximadamente . Valores de JB modestos (como ) correspondem a valores-p altos. - Conclusão: para ambos os modelos não há evidência para rejeitar a normalidade dos resíduos ao nível de 5% (nem mesmo em 10%). Em palavras simples: os resíduos parecem razoavelmente compatíveis com normalidade segundo o teste JB.
Passo 8
Por que a estatística t do coeficiente angular muda entre os modelos — intuição e razão matemática.
- Fórmula do t:
Assim, mudanças em ou em alteram . - O que muda ao omitir o intercepto:
- O estimador do coeficiente muda (de
para no exemplo) porque as fórmulas são diferentes. - O erro-padrão muda porque depende da variância residual estimada e da matriz de variância-covariância dos regressores; omitir o intercepto altera os resíduos e os graus de liberdade (com intercepto
; sem intercepto ), o que afeta e, portanto, .
- O estimador do coeficiente muda (de
- Intuição prática: forçar a origem pode reduzir ou aumentar a variância residual dependendo dos dados. No caso presente, o efeito combinado foi uma leve elevação do valor-t (de
para ). Isso é plausível e esperado: ao remover um parâmetro não significativo, a estimativa do parâmetro restante pode ganhar significância se a variância residual diminuir o suficiente ou se o erro-padrão do coeficiente diminuir. - Resposta curta: sim, há lógica — a restrição altera estimador e erro-padrão, portanto altera o t. Não é surpreendente que o t aumente ligeiramente quando se impõe
, especialmente porque estimado era muito próximo de zero e portanto a restrição não distorceu muito a relação.
Resposta
a) O primeiro modelo inclui intercepto (
); o segundo é forçado a passar pela origem (intercepto
). Isso leva a fórmulas diferentes para o
, diferentes resíduos, erros-padrão e graus de liberdade.
b) Estatisticamente não: o intercepto não é significativo (
,
), logo não há evidência para mantê‑lo. Contudo, se não houver justificativa teórica forte para forçar a origem, por prudência muitos analistas preferem manter o intercepto (evita possível viés em
).
c) Com intercepto
: um aumento de
no retorno do mercado associa‑se a um aumento médio de
no retorno da Texaco. Sem intercepto
: interpretação análoga (
por
do mercado). Ambos medem o risco sistemático (beta).
d) Fundamentam‑se no market model e no CAPM: regressão mercado–ativo (
); o CAPM implica
quando se usa retornos em excesso sobre a taxa livre de risco.
e) Não diretamente comparáveis: o
padrão assume intercepto e a decomposição TSS = RSS + ESS; omitindo o intercepto a definição/ interpretação do
muda. Embora aqui os dois
sejam próximos (
vs
), essa comparação deve ser feita com cautela.
f) JB
e
são baixos; não se rejeita normalidade dos resíduos (teste
, crítico
a 5%). Conclusão: resíduos compatíveis com normalidade segundo JB.
g) Sim, há lógica: forçar
altera tanto o estimador do coeficiente quanto seu erro‑padrão (mudam resíduos e graus de liberdade), por isso o
pode aumentar de
para
. Isso é esperado quando a restrição
é plausível (como aqui, pois
é pequeno e não significativo).