Os seguintes resultados de uma regressão tomaram como base dados mensais do período janeiro de 1978 a dezembro de 1987:
\begin{aligned} \hat{Y}_{i} & =0,00681+0,75815 X_{t} \\\ d p & =(0,02596) \quad(0,27009) \\\ t & =(0,26229) \quad(2,80700) \\\ \text { valor } p & =(0,7984) \quad(0,0186) \quad r^{2}=0,4406 \end{aligned}
\begin{aligned} \hat{Y}_{i} & =0,76214 X_{t} \\\ d p & =(0,265799) \\\ t & =(2,95408) \\\ \text { valor } p & =(0,0131) \quad r^{2}=0,43684 \end{aligned}
Em que, Y é a taxa mensal de retorno das ações ordinárias da Texaco, em %, e X é a taxa mensal de retorno do mercado, em %.
a) Qual a diferença entre os dois modelos de regressão?
b) Dados os resultados obtidos, você manteria o termo de intercepto no primeiro modelo? Justifique sua resposta.
c) Como interpretar os coeficientes angulares dos dois modelos?
d) Qual a teoria que embasa os dois modelos?
e) Você pode comparar os r^{2} dos dois modelos? Justifique.
f) A estatística Jarque-Bera de normalidade para o primeiro destes modelos é igual a 1,1167 e para o segundo modelo, 1,1170 . Que conclusões você pode tirar dessas estatísticas?
g) O valor t do coeficiente angular do modelo com intercepto zero é de cerca de 2,95 , enquanto o do modelo com intercepto presente é de 2,81 . Há alguma lógica por trás desse resultado?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido, com os números exatamente como foram fornecidos.
Dados (peguei estes números do enunciado):
  • Modelo A (com intercepto):
    \hat{Y}_{t}=0,00681+0,75815\,X_{t}
    Erros-padrão:
    (0,02596)\quad(0,27009)
    Estatísticas t:
    (0,26229)\quad(2,80700)
    Valores-p:
    (0,7984)\quad(0,0186)
    r^{2}=0,4406.
  • Modelo B (sem intercepto; forçado a passar pela origem):
    \hat{Y}_{t}=0,76214\,X_{t}
    Erro-padrão do coeficiente:
    (0,265799)
    Estatística t:
    (2,95408)
    Valor-p:
    (0,0131)
    r^{2}=0,43684.
O que o enunciado pede (resumido em perguntas):
a) Qual a diferença entre os dois modelos de regressão?
b) Manteria o termo de intercepto no primeiro modelo? Justifique.
c) Interpretação dos coeficientes angulares dos dois modelos.
d) Qual a teoria que embasa os dois modelos?
e) Posso comparar os r^{2} dos dois modelos? Justifique.
f) Interpretação das estatísticas Jarque–Bera dadas ( 1,1167 e 1,1170).
g) Por que o t do coeficiente angular muda (cerca de 2,95 sem intercepto e 2,81 com intercepto)? Há lógica nisso?

Passo 2

Diferença estrutural entre os modelos — conceito e fórmulas básicas (sem cálculos ainda).
  • Modelo com intercepto: ajusta
    \hat{Y}_{t}=\hat{\alpha}+\hat{\beta}X_{t},
    estimando dois parâmetros \hat{\alpha} e \hat{\beta}. A forma de \hat{\beta} (OLS) é
    \hat{\beta}=\frac{\sum_{t}(X_{t}-\bar{X})(Y_{t}-\bar{Y})}{\sum_{t}(X_{t}-\bar{X})^{2}},
    e \hat{\alpha}=\bar{Y}-\hat{\beta}\bar{X}.
    Propriedade importante: os resíduos têm soma zero \sum_t \hat{u}_t=0 e a decomposição da soma dos quadrados TSS = RSS + ESS vale de forma usual, o que torna o r^{2} convencionalmente interpretável.
  • Modelo sem intercepto (forçado a origem):
    \hat{Y}_{t}=\tilde{\beta}X_{t},
    estimando apenas \tilde{\beta}. A fórmula OLS neste caso é
    \tilde{\beta}=\frac{\sum_{t}X_{t}Y_{t}}{\sum_{t}X_{t}^{2}}.
    Aqui não se centra em torno da média; não é garantido que \sum_t \hat{u}_t=0. A decomposição clássica TSS = RSS + ESS não se mantém na forma usual, portanto medidas como r^{2} ficam com interpretação diferente.
Resumo prático: a diferença é que um modelo permite deslocamento vertical ( \alpha) e o outro obriga a reta a passar por (0,0). Isso altera estimadores, erros-padrão, graus de liberdade e interpretação do r^{2}.

Passo 3

Decisão sobre manter o termo de intercepto — teste estatístico e raciocínio prático.
  • Hipótese a testar (para o intercepto do Modelo A): H_{0}:\alpha=0\qquad\text{vs}\qquad H_{1}:\alpha\neq0.
  • Do enunciado: estatística t para \hat{\alpha} é t=0,26229 com valor-p =0,7984.
  • Interpretação: esse valor-p é muito grande (bem maior que níveis usuais como 0,10, 0,05 ou 0,01). Portanto, estatisticamente não há evidência para rejeitar H_{0} — ou seja, não há evidência de que \alpha seja diferente de zero.
Recomendação prática (justificativa):
  • Estatística: como p=0,7984, não há suporte estatístico para manter o intercepto diferente de zero; portanto, do ponto de vista estritamente estatístico, poderia-se retirar o intercepto (usar o modelo sem intercepto).
  • Teoria/robustez: entretanto, forçar a origem só é correto se houver razão teórica forte (por exemplo, se Y e X forem retornos em excesso sobre a taxa livre de risco e a teoria que se testa exige \alpha=0 — é o caso do CAPM). Se não houver essa justificativa teórica, é geralmente mais seguro manter o intercepto, porque forçar a origem pode introduzir viés no estimador de \beta se a verdadeira \alpha for pequena mas não exatamente zero ou se houver erros de medida.
  • Conclusão prática: estatisticamente não é necessário manter o intercepto (pois ele não é significativo). Contudo, manter ou remover deve considerar também justificativa teórica; se se está testando o CAPM com retornos em excesso, remover (usar intercepto zero) é aceitável; caso contrário, eu tenderia a manter o intercepto por prudência.

Passo 4

Interpretação dos coeficientes angulares — o que significam numericamente nos dois modelos.
  • Significado geral do coeficiente angular em regressões de retorno-mercado:
    \beta mede sensibilidade do retorno da ação ao retorno do mercado; na linguagem financeira, é o risco sistemático (beta de mercado). Uma \beta de 1 significa que, em média, a ação varia tanto quanto o mercado; \beta<1 significa menos volátil que o mercado; \beta>1 significa mais volátil.
  • Valores numéricos:
    • Com intercepto: \hat{\beta}=0,75815. Interpretação prática: um aumento de 1\% no retorno do mercado está associado a um aumento médio de aproximadamente 0,75815\% no retorno mensal da Texaco, ceteris paribus.
    • Sem intercepto: \tilde{\beta}=0,76214. Interpretação prática idêntica em sentido: 1\% no mercado \Rightarrow cerca de 0,76214\% na Texaco.
  • Por que os números são parecidos mas não idênticos:
    Porque as fórmulas de estimação são diferentes ( \hat{\beta} usa desvios em torno da média; \tilde{\beta} usa produto direto X_{t}Y_{t}), e porque as somas de quadrados e a presença do intercepto alteram os resíduos e, portanto, o estimador. Assim, medidas próximas indicam que o intercepto de fato é pequeno e que os dados suportam uma relação quase-proporcional, mas pequenas diferenças existem.

Passo 5

Teoria que embasa os dois modelos — explicação didática e concreta.
  • Modelo de mercado / Market Model:
    R_{i,t}=\alpha_{i}+\beta_{i}R_{m,t}+\varepsilon_{t},
    onde R_{i,t} é o retorno da ação i no período t, R_{m,t} é o retorno do mercado, \beta_{i} é a sensibilidade da ação ao mercado, \alpha_{i} é o retorno anômalo médio (alpha) e \varepsilon_{t} é erro idiossincrático com média zero. Este é um modelo empírico padrão em finanças para decompor retornos entre parte explicada pelo mercado e parte específica.
  • CAPM (Capital Asset Pricing Model) — teoria que muitas vezes motiva usar regressão (quando se trabalham com retornos em excesso):
    A relação do CAPM (para retornos esperados) é
    E[R_{i}]-R_{f}=\beta_{i}\bigl(E[R_{m}]-R_{f}\bigr).
    Se regressarmos retornos em excesso sobre R_{f} (ou seja, Y e X já são excessos), o CAPM implica \alpha=0 na população; daí a justificativa teórica para um modelo sem intercepto. Em prática, testa-se se empiricamente \alpha é diferente de zero para julgar se o ativo tem retorno anômalo.

Passo 6

Comparação dos r^{2} dos dois modelos — pode-se comparar? por quê?
  • Valores fornecidos: r^{2}_{\text{com intercepto}}=0,4406,\qquad r^{2}_{\text{sem intercepto}}=0,43684.
  • Questão conceitual: o r^{2} usual é definido como r^{2}=1-\frac{\text{SSE}}{\text{TSS}},onde \text{TSS}=\sum_{t}(Y_{t}-\bar{Y})^{2} e \text{SSE}=\sum_{t}\hat{u}_{t}^{2}. Essa decomposição e interpretação dependem de que o modelo inclua um intercepto (assim \bar{Y} é o ponto de referência e \sum \hat{u}_{t}=0). Quando o intercepto é omitido, a TSS usada para definir r^{2} pode ser diferente (algumas implementações usam \sum Y_{t}^{2} como TSS), e a decomposição não é equivalente; logo, r^{2} entre modelos com e sem intercepto não é diretamente comparável em termos formais.
  • Conclusão prática: não é correto comparar diretamente os r^{2} dos dois modelos como se fossem medidas equivalentes. Nesse caso os dois r^{2} são muito próximos, sugerindo ajuste semelhante, mas a comparação formal deve considerar a diferença na definição e nos graus de liberdade. Melhor comparar SSE, RMSE ou usar testes específicos (F de inclusão do intercepto) ou comparar erros padrão/resíduos.

Passo 7

Interpretação das estatísticas Jarque–Bera fornecidas e conclusão sobre normalidade.
  • Jarque–Bera (JB) para os dois modelos: 1,1167 e 1,1170.
  • Sob a hipótese nula de normalidade dos resíduos, JB segue assintoticamente uma \chi^{2} com 2 graus de liberdade. O valor crítico para 5% é aproximadamente 5,99. Valores de JB modestos (como \approx1{,}12) correspondem a valores-p altos.
  • Conclusão: para ambos os modelos não há evidência para rejeitar a normalidade dos resíduos ao nível de 5% (nem mesmo em 10%). Em palavras simples: os resíduos parecem razoavelmente compatíveis com normalidade segundo o teste JB.

Passo 8

Por que a estatística t do coeficiente angular muda entre os modelos — intuição e razão matemática.
  • Fórmula do t: t=\frac{\hat{\beta}}{\text{SE}(\hat{\beta})}.Assim, mudanças em \hat{\beta} ou em \text{SE}(\hat{\beta}) alteram t.
  • O que muda ao omitir o intercepto:
    1. O estimador do coeficiente muda (de 0,75815 para 0,76214 no exemplo) porque as fórmulas são diferentes.
    2. O erro-padrão muda porque depende da variância residual estimada e da matriz de variância-covariância dos regressores; omitir o intercepto altera os resíduos e os graus de liberdade (com intercepto df=n-2; sem intercepto df=n-1), o que afeta \widehat{\sigma}^{2} e, portanto, \text{SE}.
  • Intuição prática: forçar a origem pode reduzir ou aumentar a variância residual dependendo dos dados. No caso presente, o efeito combinado foi uma leve elevação do valor-t (de 2,81 para 2,95). Isso é plausível e esperado: ao remover um parâmetro não significativo, a estimativa do parâmetro restante pode ganhar significância se a variância residual diminuir o suficiente ou se o erro-padrão do coeficiente diminuir.
  • Resposta curta: sim, há lógica — a restrição altera estimador e erro-padrão, portanto altera o t. Não é surpreendente que o t aumente ligeiramente quando se impõe \alpha=0, especialmente porque \alpha estimado era muito próximo de zero e portanto a restrição não distorceu muito a relação.

Resposta

a) O primeiro modelo inclui intercepto ( \hat{\alpha}=0,00681); o segundo é forçado a passar pela origem (intercepto =0). Isso leva a fórmulas diferentes para o \beta, diferentes resíduos, erros-padrão e graus de liberdade.
b) Estatisticamente não: o intercepto não é significativo ( t=0,26229, p=0,7984), logo não há evidência para mantê‑lo. Contudo, se não houver justificativa teórica forte para forçar a origem, por prudência muitos analistas preferem manter o intercepto (evita possível viés em \beta).
c) Com intercepto \hat{\beta}=0,75815: um aumento de 1\% no retorno do mercado associa‑se a um aumento médio de \approx0,75815\% no retorno da Texaco. Sem intercepto \tilde{\beta}=0,76214: interpretação análoga ( \approx0,76214\% por 1\% do mercado). Ambos medem o risco sistemático (beta).
d) Fundamentam‑se no market model e no CAPM: regressão mercado–ativo ( R_{i}=\alpha+\beta R_{m}+\varepsilon); o CAPM implica \alpha=0 quando se usa retornos em excesso sobre a taxa livre de risco.
e) Não diretamente comparáveis: o r^{2} padrão assume intercepto e a decomposição TSS = RSS + ESS; omitindo o intercepto a definição/ interpretação do r^{2} muda. Embora aqui os dois r^{2} sejam próximos ( 0,4406 vs 0,43684), essa comparação deve ser feita com cautela.
f) JB =1,1167 e 1,1170 são baixos; não se rejeita normalidade dos resíduos (teste \chi^{2}_{2}, crítico 5,99 a 5%). Conclusão: resíduos compatíveis com normalidade segundo JB.
g) Sim, há lógica: forçar \alpha=0 altera tanto o estimador do coeficiente quanto seu erro‑padrão (mudam resíduos e graus de liberdade), por isso o t pode aumentar de \approx2,81 para \approx2,95. Isso é esperado quando a restrição \alpha=0 é plausível (como aqui, pois \hat{\alpha} é pequeno e não significativo).

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