Imagine que a equação de uma curva de indiferença entre dois bens seja:
Como você estimaria os parâmetros desse modelo? Aplique (estimar os parâmetros) o modelo (curva de indiferença) aos dados da tabela abaixo e interprete os resultados.
Consumo do bem X:
1
2
3
4
5
Consumo do bem Y:
4
3,5
2,8
1,9
0,8
| Consumo do bem X: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Consumo do bem Y: | 4 | 3,5 | 2,8 | 1,9 | 0,8 |
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que ele dá.
- Pede: estimar os parâmetros
e do modelo
aplicar essa estimação aos dados fornecidos e interpretar os resultados.
-
Dados (peguei os valores da tabela do enunciado):
- Consumo do bem
: . - Consumo do bem
: .
- Consumo do bem
-
Informação adicional implícita: os dados são observações
para . A equação dada liga o produto a uma função linear de . A tarefa é obter estimativas numéricas para e e comentar o que elas significam.
Passo 2
Transformação conveniente do modelo e método de estimação escolhido.
- Observação prática: defina a variável
Assim o modelo fica linear em parâmetros:
onde
é o erro (diferença entre o lado esquerdo observado e o determinístico do modelo).
-
Por ser um modelo linear em parâmetros, a forma natural de estimar
e é pelo método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO / OLS). Vou explicar rapidamente o MQO: - Objetivo do MQO: escolher
e que minimizem a soma dos quadrados dos resíduos
- As fórmulas fechadas para as estimativas (para regressão com intercepto e uma variável explicativa) são:
- Objetivo do MQO: escolher
onde
- Interpretação rápida das quantidades:
mede covariância amostral entre e ; mede a variabilidade de . A razão dá a inclinação ; ajusta o nível médio.
Passo 3
Calcular
, médias e desvios necessários (usei os dados dados).
-
Primeiro calculei
: -
Cálculo das médias:
Passo 4
Calcular
e
com as somas de desvios (mostrando as contas).
- Desvios
e :
- Produto dos desvios e quadrados dos desvios de
:
-
Portanto
-
E
Logo as estimativas são
e
.
Passo 5
Fitted values, resíduos e verificação de soma dos resíduos.
-
Valores ajustados para
: resultando empara . -
Resíduos
: Confirmação:(propriedade do MQO com intercepto).
Passo 6
Transformar de volta para o formato em
e prever os
.
-
A equação original pode ser escrita comoSubstituindo as estimativas:
-
Previsões numéricas:que devem ser comparadas com os
observados .
Passo 7
Medidas de ajuste (SST, SSR, SSE,
) para avaliar o ajuste.
- Soma total dos quadrados (variabilidade total de
): - Soma explicada (SSR) pela regressão:
- Soma dos quadrados dos resíduos:
- Coeficiente de determinação:
Interpretação prática: o modelo explica praticamente nada da variação de
nos dados observados (R^2 muito baixo).
Passo 8
Erro padrão das estimativas e testes (avaliar significância).
-
Estimador da variância dos resíduos:
-
Erro padrão de
: Estatísticapara : muito pequeno —não é estatisticamente diferente de zero (com esse pequeno conjunto de dados). -
Erro padrão de
: Estatísticapara : Comgraus de liberdade, esse é menor que o crítico de (≈3{,}18) mas maior que o crítico de (≈2{,}35). Assim pode ser considerado apenas marginalmente significativo (ao redor de 10%), e nada conclusivo dado o tamanho de amostra muito pequeno.
Passo 9
Interpretação econômica/prática do modelo e das estimativas (linguagem direta).
-
Forma estimada (em
): Isto é, o consumoprevisto decresce com aproximadamente como uma hipérbole com uma pequena constante adicionada. -
Significado dos parâmetros:
-
(estimado ) controla a parte hiperbólica da curva: quanto maior , maior o efeito de redução de quando cresce (em níveis baixos de isso domina). -
(estimado ) é o valor assintótico de quando (porque ), ou seja, o nível mínimo de que a curva sugere no limite. Aqui esse valor é muito próximo de zero.
-
-
Conclusão prática sobre o ajuste:
- Apesar de termos estimado
e , o ajuste é fraco: indica que a relação linear entre e praticamente não explica a variação observada em . - Numericamente,
não é estatisticamente significativo e só marginalmente (dependendo do nível de significância), mas o tamanho da amostra é muito pequeno para conclusões firmes. - Em linguagem de prova: use MQO sobre
versus ; calculei e ; entretanto o modelo ajusta mal esses dados — considere outro formato funcional ou mais dados se quiser um ajuste confiável.
- Apesar de termos estimado
Resposta
Modelo em
Ajuste fraco (