Imagine que a equação de uma curva de indiferença entre dois bens seja:
X_{i} Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}
Como você estimaria os parâmetros desse modelo? Aplique (estimar os parâmetros) o modelo (curva de indiferença) aos dados da tabela abaixo e interprete os resultados.
Consumo do bem X: 1 2 3 4 5
Consumo do bem Y: 4 3,5 2,8 1,9 0,8

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que ele dá.
  • Pede: estimar os parâmetros \beta_{1} e \beta_{2} do modelo
X_{i} Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2} X_{i},
aplicar essa estimação aos dados fornecidos e interpretar os resultados.
  • Dados (peguei os valores da tabela do enunciado):
    • Consumo do bem X: \;X_i=\;1,\;2,\;3,\;4,\;5.
    • Consumo do bem Y: \;Y_i=\;4,\;3,5,\;2,8,\;1,9,\;0,8.
  • Informação adicional implícita: os dados são observações (X_i,Y_i) para i=1,\dots,5. A equação dada liga o produto X_iY_i a uma função linear de X_i. A tarefa é obter estimativas numéricas para \beta_1 e \beta_2 e comentar o que elas significam.

Passo 2

Transformação conveniente do modelo e método de estimação escolhido.
  • Observação prática: defina a variável
Z_i \equiv X_i Y_i.
Assim o modelo fica linear em parâmetros:
Z_i = \beta_1 + \beta_2 X_i + u_i,
onde u_i é o erro (diferença entre o lado esquerdo observado e o determinístico do modelo).
  • Por ser um modelo linear em parâmetros, a forma natural de estimar \beta_1 e \beta_2 é pelo método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO / OLS). Vou explicar rapidamente o MQO:
    • Objetivo do MQO: escolher \hat\beta_1 e \hat\beta_2 que minimizem a soma dos quadrados dos resíduos
    \sum_{i=1}^{n} (Z_i - \hat\beta_1 - \hat\beta_2 X_i)^2.
    • As fórmulas fechadas para as estimativas (para regressão com intercepto e uma variável explicativa) são:
    \hat\beta_2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)(Z_i-\bar Z)}{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2},
\hat\beta_1 = \bar Z - \hat\beta_2 \bar X,
onde
\bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i,\qquad \bar Z=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Z_i.
  • Interpretação rápida das quantidades: \sum (X_i-\bar X)(Z_i-\bar Z) mede covariância amostral entre X e Z; \sum (X_i-\bar X)^2 mede a variabilidade de X. A razão dá a inclinação \hat\beta_2; \hat\beta_1 ajusta o nível médio.

Passo 3

Calcular Z_i=X_iY_i, médias e desvios necessários (usei os dados dados).
  • Primeiro calculei Z_i:
    \begin{array}{c|ccccc} X_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\ \hline Y_i & 4 & 3{,}5 & 2{,}8 & 1{,}9 & 0{,}8 \\\ \hline Z_i=X_iY_i & 4 & 7 & 8{,}4 & 7{,}6 & 4 \end{array}
  • Cálculo das médias:
    n=5,\qquad \bar X=\frac{1+2+3+4+5}{5}= \frac{15}{5}=3,
\bar Z=\frac{4+7+8{,}4+7{,}6+4}{5}=\frac{31}{5}=6{,}2.

Passo 4

Calcular \hat\beta_2 e \hat\beta_1 com as somas de desvios (mostrando as contas).
  • Desvios (X_i-\bar X) e (Z_i-\bar Z): X_i-\bar X = -2,\,-1,\,0,\,1,\,2,
Z_i-\bar Z = -2{,}2,\;0{,}8,\;2{,}2,\;1{,}4,\;-2{,}2.
  • Produto dos desvios e quadrados dos desvios de X: (X_i-\bar X)(Z_i-\bar Z)=4{,}4,\,-0{,}8,\,0,\,1{,}4,\,-4{,}4 \quad\Rightarrow\quad \sum (X_i-\bar X)(Z_i-\bar Z)=0{,}6.
(X_i-\bar X)^2 = 4,\,1,\,0,\,1,\,4 \quad\Rightarrow\quad \sum (X_i-\bar X)^2=10.
  • Portanto
    \hat\beta_2=\frac{0{,}6}{10}=0{,}06.
  • E
    \hat\beta_1=\bar Z-\hat\beta_2\bar X=6{,}2 - 0{,}06\cdot 3 = 6{,}2 - 0{,}18 = 6{,}02.
Logo as estimativas são \hat\beta_1=6{,}02 e \hat\beta_2=0{,}06.

Passo 5

Fitted values, resíduos e verificação de soma dos resíduos.
  • Valores ajustados para Z:
    \hat Z_i = \hat\beta_1 + \hat\beta_2 X_i = 6{,}02 + 0{,}06 X_i,
    resultando em \hat Z_i \approx 6{,}08,\;6{,}14,\;6{,}20,\;6{,}26,\;6{,}32 para X=1,\dots,5.
  • Resíduos e_i = Z_i - \hat Z_i:
    e_i \approx -2{,}08,\;0{,}86,\;2{,}20,\;1{,}34,\;-2{,}32.
    Confirmação: \sum e_i = 0 (propriedade do MQO com intercepto).

Passo 6

Transformar de volta para o formato em Y e prever os Y.
  • A equação original pode ser escrita como
    Y_i = \frac{\beta_1}{X_i} + \beta_2.
    Substituindo as estimativas:
    \hat Y_i = \frac{6{,}02}{X_i} + 0{,}06.
  • Previsões numéricas:
    \hat Y \text{ para } X=1,\dots,5 \approx 6{,}08,\;3{,}07,\;2{,}07,\;1{,}57,\;1{,}26,
    que devem ser comparadas com os Y observados 4,\;3{,}5,\;2{,}8,\;1{,}9,\;0{,}8.

Passo 7

Medidas de ajuste (SST, SSR, SSE, R^2) para avaliar o ajuste.
  • Soma total dos quadrados (variabilidade total de Z): \mathrm{SST}=\sum (Z_i-\bar Z)^2 = 17{,}12.
  • Soma explicada (SSR) pela regressão: \mathrm{SSR}=\hat\beta_2^2 \sum (X_i-\bar X)^2 = (0{,}06)^2\cdot 10 = 0{,}036.
  • Soma dos quadrados dos resíduos: \mathrm{SSE}=\mathrm{SST}-\mathrm{SSR}=17{,}12-0{,}036=17{,}084.
  • Coeficiente de determinação: R^2=\frac{\mathrm{SSR}}{\mathrm{SST}}=\frac{0{,}036}{17{,}12}\approx 0{,}002 \quad(\text{aprox. }0{,}2\%).
Interpretação prática: o modelo explica praticamente nada da variação de Z nos dados observados (R^2 muito baixo).

Passo 8

Erro padrão das estimativas e testes (avaliar significância).
  • Estimador da variância dos resíduos:
    \hat\sigma^2=\frac{\mathrm{SSE}}{n-2}=\frac{17{,}084}{3}\approx 5{,}695,\qquad \hat\sigma\approx 2{,}387.
  • Erro padrão de \hat\beta_2:
    \mathrm{se}(\hat\beta_2)=\frac{\hat\sigma}{\sqrt{\sum (X_i-\bar X)^2}}=\frac{2{,}387}{\sqrt{10}}\approx 0{,}755.
    Estatística t para \hat\beta_2:
    t=\frac{0{,}06}{0{,}755}\approx 0{,}08,
    muito pequeno — \hat\beta_2 não é estatisticamente diferente de zero (com esse pequeno conjunto de dados).
  • Erro padrão de \hat\beta_1:
    \mathrm{se}(\hat\beta_1)=\hat\sigma\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{\bar X^2}{\sum (X_i-\bar X)^2}} =2{,}387\sqrt{\frac{1}{5}+\frac{9}{10}}\approx 2{,}50.
    Estatística t para \hat\beta_1:
    t=\frac{6{,}02}{2{,}50}\approx 2{,}41.
    Com n-2=3 graus de liberdade, esse t é menor que o crítico de 5\% (≈3{,}18) mas maior que o crítico de 10\% (≈2{,}35). Assim \hat\beta_1 pode ser considerado apenas marginalmente significativo (ao redor de 10%), e nada conclusivo dado o tamanho de amostra muito pequeno.

Passo 9

Interpretação econômica/prática do modelo e das estimativas (linguagem direta).
  • Forma estimada (em Y):
    \hat Y = \frac{6{,}02}{X} + 0{,}06.
    Isto é, o consumo Y previsto decresce com X aproximadamente como uma hipérbole \frac{6{,}02}{X} com uma pequena constante 0{,}06 adicionada.
  • Significado dos parâmetros:
    • \beta_1 (estimado \hat\beta_1=6{,}02) controla a parte hiperbólica da curva: quanto maior \beta_1, maior o efeito de redução de Y quando X cresce (em níveis baixos de X isso domina).
    • \beta_2 (estimado \hat\beta_2=0{,}06) é o valor assintótico de Y quando X\to\infty (porque \beta_1/X\to 0), ou seja, o nível mínimo de Y que a curva sugere no limite. Aqui esse valor é muito próximo de zero.
  • Conclusão prática sobre o ajuste:
    • Apesar de termos estimado \hat\beta_1 e \hat\beta_2, o ajuste é fraco: R^2\approx 0{,}002 indica que a relação linear entre Z=X Y e X praticamente não explica a variação observada em Z.
    • Numericamente, \hat\beta_2 não é estatisticamente significativo e \hat\beta_1 só marginalmente (dependendo do nível de significância), mas o tamanho da amostra é muito pequeno para conclusões firmes.
    • Em linguagem de prova: use MQO sobre Z_i=X_iY_i versus X_i; calculei \hat\beta_1=6{,}02 e \hat\beta_2=0{,}06; entretanto o modelo ajusta mal esses dados — considere outro formato funcional ou mais dados se quiser um ajuste confiável.

Resposta

\hat\beta_1=6{,}02,\qquad \hat\beta_2=0{,}06.
Modelo em Y: \displaystyle \hat Y=\frac{6{,}02}{X}+0{,}06.
Ajuste fraco ( R^2\approx0{,}002); \hat\beta_2 não significativo e \hat\beta_1 apenas marginalmente significativo (pequena amostra).

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