As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{ll}1 & x \\\\ 3 & 1 \\\\ 2 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & x\\\\ 3 & 1\\\\ 2 & y \end{pmatrix}
de um sistema A\mathbf{u}=\mathbf{b} com duas incógnitas. Queremos que esse sistema tenha ou infinitas soluções (quando \mathbf{b} estiver na imagem de A) ou nenhuma solução (quando \mathbf{b} não estiver). Isso só acontece se
\rank(A)=1<2,
pois então há uma única pivô em A: sempre que \mathbf{b} pertencer à coluna única de A haverá infinitas soluções; caso contrário, o sistema será inconsistente.

Passo 2

Para forçar \rank(A)=1, todas as linhas de A devem ser múltiplos de uma mesma linha (por exemplo, da primeira). Seja a primeira linha (1,x). Da segunda linha (3,1) existe \lambda tal que
(3,1)=\lambda\,(1,x) \quad\Longrightarrow\quad \lambda=3, \quad 1=3x \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac13.
Análoga-mente, para a terceira linha (2,y) existe \mu com
(2,y)=\mu\,(1,x) \quad\Longrightarrow\quad \mu=2, \quad y=2x=2\cdot\tfrac13=\tfrac23.

Resposta

x=\tfrac13 e y=\tfrac23.

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