As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 2 & x \\\\ 1 & 4\end{array}\right], 0 ou 1 solução a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 2 & x\\\\ 1 & 4 \end{pmatrix}
de um sistema com duas incógnitas (x_1,x_2) e três equações, e pede que o sistema tenha ou nenhuma solução ou exatamente uma solução, a depender do vetor \boldsymbol b. Para isso, precisamos que \rank(A)=2 (ou seja, colunas independentes) para que não haja infinitas soluções e só ocorra consistência ou inconsistência.

Passo 2

Para que \rank(A)=2, basta encontrar um menor 2\times2 de A não nulo. Cálculo do menor formado pelas linhas 1 e 3 e colunas 1 e 2:
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 4\end{pmatrix} =2\cdot4 - 1\cdot1 = 8 - 1 = 7 \neq 0.
Como esse determinante é diferente de zero e independe de x, concluímos que \rank(A)=2 para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Com \rank(A)=2 e número de incógnitas igual a 2, o sistema
  • terá uma única solução se o vetor \boldsymbol b pertencer ao espaço coluna de A (situação \rank([A|\boldsymbol b])=2),
  • não terá solução se \boldsymbol b não pertencer ao espaço coluna (situação \rank([A|\boldsymbol b])=3).
Isso garante “0 ou 1 solução a depender de \boldsymbol b”.

Resposta

Qualquer valor de x mantém \rank(A)=2. Por exemplo, podemos escolher x=0.

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