As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & x \\\\ 3 & y & 1\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & x\\\\ 3 & y & 1 \end{pmatrix},
de um sistema com 2 equações e 3 incógnitas. Queremos que, para qualquer vetor \boldsymbol b=(b_1,b_2), o sistema
A\begin{pmatrix}u\v\w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_1\b_2\end{pmatrix}
tenha infinitas soluções.

Passo 2

Para que o sistema seja sempre consistente (solução existe para todo \boldsymbol b), a matriz A deve ter posto igual ao número de equações, isto é, \mathrm{rank}(A)=2.
Como há 3 incógnitas e o posto é 2, haverá sempre uma variável livre, garantindo infinitas soluções.

Passo 3

O posto de A será 2 se e somente se as duas linhas forem linearmente independentes. Isso equivale a existir pelo menos um menor 2\times2 não nulo. Por exemplo, o menor formado pelas colunas 1 e 2 é
\det\begin{pmatrix}1 & 4\\\ 3 & y\end{pmatrix} =1\cdot y - 4\cdot 3 = y - 12.
Se y\neq 12, esse determinante é não nulo e logo \mathrm{rank}(A)=2.
Caso y=12, podemos usar o menor das colunas 1 e 3:
\det\begin{pmatrix}1 & x\\\ 3 & 1\end{pmatrix} =1\cdot 1 - 3\cdot x =1-3x,
que é não nulo sempre que x\neq \tfrac13.
Portanto, a condição necessária e suficiente para \mathrm{rank}(A)=2 é
\bigl(y\neq 12\bigr)\quad\text{ou}\quad\bigl(x\neq\tfrac13\bigr).

Passo 4

Basta escolher quaisquer x,y que satisfaçam essa condição. Por simplicidade, podemos tomar
x=0, \quad y=0,
pois y-12=-12\neq0, garantindo \mathrm{rank}(A)=2 e, assim, infinitas soluções para todo \boldsymbol b.

Resposta

x=0 e y=0.

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