1. (1, 5 ponto) Os vetores \boldsymbol{u}=(3,2,-1), \boldsymbol{v}=(0,2,1) e \boldsymbol{w}=(-1,4,1) formam uma base para \mathbb{R}^{3} ? Just ifique.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3: \boldsymbol{u}=(3,2,-1), \boldsymbol{v}=(0,2,1) e \boldsymbol{w}=(-1,4,1), e pede para verificar se eles formam uma base de \mathbb{R}^3.
Para isso, vamos usar o critério de que três vetores em \mathbb{R}^3 formam base se, e somente se, são linearmente independentes (o que equivale a o determinante da matriz formada por eles ser diferente de zero).

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}:
A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\\\ 2 & 2 & 4 \\\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão de cofactores ou Sarrus:
\det(A) = 3\cdot\bigl(2\cdot1 - 4\cdot1\bigr) - 0\cdot(\dots) + (-1)\cdot\bigl(2\cdot1 - 2\cdot(-1)\bigr).
Dentro dos parênteses:
2\cdot1 - 4\cdot1 = -2, \qquad 2\cdot1 - 2\cdot(-1) = 2 + 2 = 4.
Logo,
\det(A) = 3\cdot(-2) + (-1)\cdot4 = -6 - 4 = -10 \neq 0.

Passo 4

Como \det(A)\neq 0, concluímos que \boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w} são linearmente independentes e, por serem três vetores em \mathbb{R}^3, eles também geram \mathbb{R}^3. Logo formam uma base.

Resposta

Sim. Os vetores formam uma base de \mathbb{R}^3 pois \det(A)=-10\neq 0, o que garante que são linearmente independentes.

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