(1, 5 ponto) Os vetores \boldsymbol{u}=(3,2,-1), \boldsymbol{v}=(0,2,1) e \boldsymbol{w}=(-1,4,1) formam uma base para \mathbb{R}^{3} ? Just ifique.
Passo 1
O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3: \boldsymbol{u}=(3,2,-1), \boldsymbol{v}=(0,2,1) e \boldsymbol{w}=(-1,4,1), e pede para verificar se eles formam uma base de \mathbb{R}^3.
Para isso, vamos usar o critério de que três vetores em \mathbb{R}^3 formam base se, e somente se, são linearmente independentes (o que equivale a o determinante da matriz formada por eles ser diferente de zero).
Passo 2
Formamos a matriz A cujas colunas são \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}:
Como \det(A)\neq 0, concluímos que \boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w} são linearmente independentes e, por serem três vetores em \mathbb{R}^3, eles também geram \mathbb{R}^3. Logo formam uma base.
Resposta
Sim. Os vetores formam uma base de \mathbb{R}^3 pois \det(A)=-10\neq 0, o que garante que são linearmente independentes.