As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas. \left[\begin{array}{lll}x & 4 & 3 \\\\ 6 & y & 2\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
Passo 1
O enunciado apresenta a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} x & 4 & 3\\\\ 6 & y & 2 \end{pmatrix}
de um sistema linear A\mathbf{u}=\mathbf{b} com 3 incógnitas e 2 equações, e pede que escolhamos x e y de modo que, para vetores \mathbf{b}=(b_1,b_2), o sistema tenha infinitas soluções quando \mathbf{b} satisfizer certa condição e nenhuma solução caso contrário. Para isso precisamos que a classificação (posto) de A seja 1.
Passo 2
Quando o posto de A é 1 significa que as duas linhas de A são proporcionais. Logo, deve existir escalar k\neq 0 tal que
(6,\;y,\;2) \;=\;k\,(x,\;4,\;3).
Passo 3
Para determinar k podemos igualar uma das componentes. Da terceira componente:
2 = k\cdot 3 \quad\Longrightarrow\quad k = \tfrac{2}{3}.