As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{lll}x & 4 & 3 \\\\ 6 & y & 2\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado apresenta a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} x & 4 & 3\\\\ 6 & y & 2 \end{pmatrix}
de um sistema linear A\mathbf{u}=\mathbf{b} com 3 incógnitas e 2 equações, e pede que escolhamos x e y de modo que, para vetores \mathbf{b}=(b_1,b_2), o sistema tenha infinitas soluções quando \mathbf{b} satisfizer certa condição e nenhuma solução caso contrário. Para isso precisamos que a classificação (posto) de A seja 1.

Passo 2

Quando o posto de A é 1 significa que as duas linhas de A são proporcionais. Logo, deve existir escalar k\neq 0 tal que
(6,\;y,\;2) \;=\;k\,(x,\;4,\;3).

Passo 3

Para determinar k podemos igualar uma das componentes. Da terceira componente:
2 = k\cdot 3 \quad\Longrightarrow\quad k = \tfrac{2}{3}.
Substituindo nas outras igualdades:
6 = k\,x = \tfrac{2}{3}\,x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{6\cdot 3}{2} = 9,
y = k \cdot 4 = \tfrac{2}{3}\cdot 4 = \frac{8}{3}.

Passo 4

Com x=9 e y=\tfrac{8}{3} temos
A=\begin{pmatrix} 9 & 4 & 3\\\\ 6 & \tfrac{8}{3} & 2 \end{pmatrix},
cujas linhas satisfazem
(6,\tfrac{8}{3},2)=\tfrac{2}{3}\,(9,4,3),
logo \mathrm{rank}(A)=1.
O sistema A\mathbf{u}=\mathbf{b} será consistente (posto do ampliado igual a 1) e dará infinitas soluções se e somente se
(b_2) = \tfrac{2}{3}\,(b_1).
Se b_2 \neq \tfrac{2}{3}b_1, o posto do sistema ampliado é 2 enquanto o de A é 1, resultando em nenhuma solução.

Resposta

x = 9 e y = \tfrac{8}{3}. O sistema tem infinitas soluções se b_2=\tfrac{2}{3}b_1 e nenhuma solução caso contrário.

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