As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas. \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 2 & 3 \\\\ 6 & x\end{array}\right], 0 ou 1 solução a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
Passo 1
O enunciado apresenta a matriz
A=\begin{bmatrix}0&1\\\ 2&3\\\ 6&x\end{bmatrix}
que define um sistema sobredeterminado em \mathbb R^3 com duas incógnitas. Queremos que o sistema tenha “0 ou 1 solução a depender de \boldsymbol b”. Pela teoria, isso ocorre se e somente se \ker A=\{0\}, pois assim o sistema é injetor e admite no máximo uma solução: para \boldsymbol b\notin\mathrm{Im}\,A não há solução e para \boldsymbol b\in\mathrm{Im}\,A há exatamente uma.
Passo 2
Para \ker A=\{0\} é preciso que \mathrm{rank}\,A seja igual ao número de colunas (2). Vamos mostrar que \mathrm{rank}\,A=2 para todo x. Denotando por
as colunas de A, se existisse \lambda tal que \boldsymbol c_2=\lambda\,\boldsymbol c_1, teríamos
\lambda\cdot0 = 1,
o que é impossível. Logo \boldsymbol c_1 e \boldsymbol c_2 são linearmente independentes qualquer que seja x, e portanto
\mathrm{rank}\,A=2.
Passo 3
Como \mathrm{rank}\,A=2 coincide com o número de incógnitas, segue que \dim\ker A=0 e o sistema é injetor. Logo, para cada \boldsymbol b\in\mathbb R^3 ou não existe solução (se \boldsymbol b\notin\mathrm{Im}\,A) ou existe uma única (se \boldsymbol b\in\mathrm{Im}\,A).