Os seguintes sistemas lineares admitem uma única solucão; determine essa s olucão aplicando a Regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{c}x+y+z=8 \\\ x-y=0 \\\\ 3 y+2 z=14\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + y + z = 8,\\\ x - y = 0,\\\\ 3y + 2z = 14, \end{cases}
e pede a solução única usando a Regra de Cramer. Para isso, vamos montar a matriz de coeficientes A e calcular \det(A), depois substituir a coluna correspondente a cada variável pelo vetor de termos constantes para obter os determinantes D_x, D_y e D_z. Por fim, cada variável será x = D_x/\det(A), y = D_y/\det(A) e z = D_z/\det(A).

Passo 2

Montamos
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix},
e calculamos seu determinante por expansão na primeira linha:
\det(A) = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 3 & 2\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 2\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 0 & 3\end{pmatrix} = 1\cdot(-1\cdot2-0\cdot3)-1\cdot(1\cdot2-0)-1\cdot(-1\cdot0-?)+1\cdot(1\cdot3-(-1)\cdot0) = -2 -2 +3 = -1.

Passo 3

Substituímos a primeira coluna de A pelo vetor de constantes \begin{pmatrix}8\\\ 0\\\ 14\end{pmatrix} para obter
D_x = \det\begin{pmatrix} 8 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 14 & 3 & 2 \end{pmatrix} = 8\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 3 & 2\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 14 & 2\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & -1\\\ 14 & 3\end{pmatrix} = 8\cdot(-2)-1\cdot0+1\cdot(0+14) = -16+14 = -2.
Logo x = D_x/\det(A) = (-2)/(-1) = 2.

Passo 4

Substituímos a segunda coluna de A pelo vetor de constantes para obter
D_y = \det\begin{pmatrix} 1 & 8 & 1\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 14 & 2 \end{pmatrix} = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 14 & 2\end{pmatrix} -8\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 2\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 14\end{pmatrix} = 1\cdot0 -8\cdot2 +1\cdot14 = -16+14 = -2.
Logo y = D_y/\det(A) = (-2)/(-1) = 2.

Passo 5

Substituímos a terceira coluna de A pelo vetor de constantes para obter
D_z = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 8\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 3 & 14 \end{pmatrix} = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 3 & 14\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 14\end{pmatrix} +8\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 0 & 3\end{pmatrix} = 1\cdot(-14)-1\cdot14+8\cdot3 = -14-14+24 = -4.
Logo z = D_z/\det(A) = (-4)/(-1) = 4.

Resposta

x = 2,\;y = 2,\;z = 4.

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