Quais dos seguintes subconjuntos do espaço vetorial M_{2 \times 3} são subespaços vetoriais?
\mathrm{W}_{1}=\left\{\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f\end{array}\right) \in \mathrm{M} 2 \times 3\right. com \left.\mathrm{a}=2 \mathrm{c}+1\right\} e a, b, c, d, e, freais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto \mathrm{W}_{1} é um subespaço vetorial de M_{2\times3}. As informações dadas são:
  • \mathrm{W}_{1}=\left\{\left(\begin{pmatrix}a & b & c \\[4pt] d & e & f\end{pmatrix}\right)\in M_{2\times3}\\ \middle|\\ a=2c+1\right\}.
  • As entradas a,b,c,d,e,f são números reais (ou seja, estamos em M_{2\times3}(\mathbb{R})).
    As perguntas explícitas a responder: \mathrm{W}_{1} é subespaço vetorial de M_{2\times3}? Justificar.]

Passo 2

Lembrete (definição e critério prático). Para um subconjunto W de um espaço vetorial V ser subespaço vetorial, é necessário e suficiente que:
  1. W não seja vazio (em particular, o vetor zero de V deve pertencer a W);
  2. W seja fechado sob soma: se u,v\in W então u+v\in W;
  3. W seja fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in W.
Explicando com calma: em M_{2\times3} a soma e multiplicação por escalar são feitas entrada a entrada. Se
A=\begin{pmatrix}a_1 & b_1 & c_1 \\\ d_1 & e_1 & f_1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}a_2 & b_2 & c_2 \\\ d_2 & e_2 & f_2\end{pmatrix},
então
A+B=\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2 & c_1+c_2 \\\ d_1+d_2 & e_1+e_2 & f_1+f_2\end{pmatrix},
e para \alpha\in\mathbb{R}
\alpha A=\begin{pmatrix}\alpha a_1 & \alpha b_1 & \alpha c_1 \\\ \alpha d_1 & \alpha e_1 & \alpha f_1\end{pmatrix}.
Um teste rápido muito usado é verificar se o zero está no conjunto: se o zero não pertence, o conjunto já não é subespaço.

Passo 3

Teste do vetor zero. O vetor zero em M_{2\times3} é
0=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Para que 0 estivesse em \mathrm{W}_{1}, sua entrada a deveria satisfazer a condição a=2c+1. No zero temos a=0 e c=0. Substituindo,
0 \stackrel{?}{=} 2\cdot 0 + 1 = 1.
Isto é falso. Portanto 0\notin \mathrm{W}_{1}.]

Passo 4

Interpretação do resultado do passo anterior. Como o vetor zero do espaço M_{2\times3} não pertence a \mathrm{W}_{1}, pelo critério explicado no Passo 2 concluímos imediatamente que \mathrm{W}_{1} não pode ser um subespaço vetorial. Esse teste é suficiente e definitivo: todo subespaço deve conter o zero, logo a ausência do zero já elimina a possibilidade.

Passo 5

Contraexemplos concretos de falha das propriedades (opcional, para fixar a ideia). Escolha a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Ela pertence a \mathrm{W}_{1} porque sua entrada a=1 e c=0 satisfazem 1=2\cdot 0+1. Agora:
  • Multiplicação por \alpha=0: \,0\cdot A=0 que é a matriz zero, e já vimos que 0\notin\mathrm{W}_{1}. Logo \mathrm{W}_{1} não é fechado por multiplicação escalar.
  • Soma com ela mesma: A+A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}. Aqui a=2 e c=0, mas 2\neq 2\cdot 0+1, logo A+A\notin\mathrm{W}_{1}. Assim \mathrm{W}_{1} não é fechado por soma.
Esses contraexemplos mostram de maneira construtiva as falhas, além do teste do zero.]

Resposta

\mathrm{W}_{1} não é um subespaço vetorial de M_{2\times3}.

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