Quais dos seguintes subconjuntos do espaço vetorial M_{2 \times 3} são subespaços vetoriais? \mathrm{W}_{1}=\left\{\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f\end{array}\right) \in \mathrm{M} 2 \times 3\right. com \left.\mathrm{a}=2 \mathrm{c}+1\right\} e a, b, c, d, e, freais.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o subconjunto \mathrm{W}_{1} é um subespaço vetorial de M_{2\times3}. As informações dadas são:
\mathrm{W}_{1}=\left\{\left(\begin{pmatrix}a & b & c \\[4pt] d & e & f\end{pmatrix}\right)\in M_{2\times3}\\ \middle|\\ a=2c+1\right\}.
As entradas a,b,c,d,e,f são números reais (ou seja, estamos em M_{2\times3}(\mathbb{R})).
As perguntas explícitas a responder: \mathrm{W}_{1} é subespaço vetorial de M_{2\times3}? Justificar.]
Passo 2
Lembrete (definição e critério prático). Para um subconjunto W de um espaço vetorial V ser subespaço vetorial, é necessário e suficiente que:
W não seja vazio (em particular, o vetor zero de V deve pertencer a W);
W seja fechado sob soma: se u,v\in W então u+v\in W;
W seja fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in W.
Explicando com calma: em M_{2\times3} a soma e multiplicação por escalar são feitas entrada a entrada. Se
Para que 0 estivesse em \mathrm{W}_{1}, sua entrada a deveria satisfazer a condição a=2c+1. No zero temos a=0 e c=0. Substituindo,
0 \stackrel{?}{=} 2\cdot 0 + 1 = 1.
Isto é falso. Portanto 0\notin \mathrm{W}_{1}.]
Passo 4
Interpretação do resultado do passo anterior. Como o vetor zero do espaço M_{2\times3} não pertence a \mathrm{W}_{1}, pelo critério explicado no Passo 2 concluímos imediatamente que \mathrm{W}_{1} não pode ser um subespaço vetorial. Esse teste é suficiente e definitivo: todo subespaço deve conter o zero, logo a ausência do zero já elimina a possibilidade.
Passo 5
Contraexemplos concretos de falha das propriedades (opcional, para fixar a ideia). Escolha a matriz
Ela pertence a \mathrm{W}_{1} porque sua entrada a=1 e c=0 satisfazem 1=2\cdot 0+1. Agora:
Multiplicação por \alpha=0: \,0\cdot A=0 que é a matriz zero, e já vimos que 0\notin\mathrm{W}_{1}. Logo \mathrm{W}_{1} não é fechado por multiplicação escalar.
Soma com ela mesma: A+A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}. Aqui a=2 e c=0, mas 2\neq 2\cdot 0+1, logo A+A\notin\mathrm{W}_{1}. Assim \mathrm{W}_{1} não é fechado por soma.
Esses contraexemplos mostram de maneira construtiva as falhas, além do teste do zero.]
Resposta
\mathrm{W}_{1} não é um subespaço vetorial de M_{2\times3}.