Quais dos seguintes subconjuntos do espaço vetorial
são subespaços vetoriais?
com
e c reais
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar se o subconjunto
é um subespaço vetorial de .
Informações dadas:
-
é o conjunto de todas as matrizes da forma
com
.]
Passo 2
Regra prática (ferramenta que vamos usar): para testar se um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço, basta verificar três coisas equivalentes (ou usar um critério mais rápido):
-
não é vazio (normalmente checamos se o vetor zero pertence a ); -
é fechado sob soma: se então ; -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Explicação didática curta: o vetor zero (matriz zero) deve estar em todo subespaço; se ele não está, basta para concluir que não é subespaço. Mesmo que estivesse, ainda seria necessário checar as duas fechamentos, mas muitas vezes a ausência do zero já resolve rápido.
Passo 3
Verificação do vetor zero: a matriz zero em
é
Comparando com a forma dos elementos de
,
vemos que todo elemento de
tem entrada
igual a
. A matriz zero tem entrada
igual a
. Portanto
Como o vetor zero não pertence a
, já podemos concluir que
não é um subespaço vetorial. (Esse é o teste mais direto.)]
Passo 4
Para fixar a intuição, mostro contraexemplos concretos também para as propriedades de fechamento:
Escolha a matriz
(é da forma dada com
). Multiplicando por
obtém-se
que, como vimos, não pertence a
. Assim a propriedade de fechamento por multiplicação escalar falha.]
Passo 5
Outra falha: fechamento por soma.
Tome
A soma é
que tem entrada
igual a
, não igual a
. Logo
. Portanto
não é fechado por soma.]
Passo 6
Conclusão e dica de prova em prova: basta mostrar que a matriz zero não pertence ao conjunto para negar que seja subespaço. Alternativamente, exibir um exemplo de
ou
que sai do conjunto também prova a mesma coisa. No caso de
ambas as abordagens demonstram claramente que não é subespaço.
Observação útil: se o
fixo na posição
fosse
em vez de
, isto é, se o conjunto fosse
então esse novo conjunto seria um subespaço (é isomorfo a
, gerado pelas matrizes
). Isso ajuda a entender por que o valor fixo
estraga a estrutura linear: ele impede a presença do vetor zero e a estabilidade por escala e soma.]