Quais dos seguintes subconjuntos do espaço vetorial M_{2 \times 3} são subespaços vetoriais?
\mathrm{W}_{2}=\left\{\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & a \\\ b & c & 0\end{array}\right) \in \mathrm{M} 2 \times 3\right. com \mathrm{a}, \mathrm{b} e c reais \}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar se o subconjunto \mathrm{W}_{2} é um subespaço vetorial de M_{2\times3}.
Informações dadas:
  • \mathrm{W}_{2} é o conjunto de todas as matrizes 2\times3 da forma
\begin{pmatrix} 0 & 1 & a\\[4pt] b & c & 0 \end{pmatrix}
com a,b,c\in\mathbb{R}.]

Passo 2

Regra prática (ferramenta que vamos usar): para testar se um subconjunto W de um espaço vetorial é subespaço, basta verificar três coisas equivalentes (ou usar um critério mais rápido):
  1. W não é vazio (normalmente checamos se o vetor zero pertence a W);
  2. W é fechado sob soma: se X,Y\in W então X+Y\in W;
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se X\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda X\in W.
Explicação didática curta: o vetor zero (matriz zero) deve estar em todo subespaço; se ele não está, basta para concluir que não é subespaço. Mesmo que estivesse, ainda seria necessário checar as duas fechamentos, mas muitas vezes a ausência do zero já resolve rápido.

Passo 3

Verificação do vetor zero: a matriz zero em M_{2\times3} é
\mathbf{0}_{2\times3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Comparando com a forma dos elementos de \mathrm{W}_{2},
\begin{pmatrix} 0 & 1 & a\\[4pt] b & c & 0 \end{pmatrix},
vemos que todo elemento de \mathrm{W}_{2} tem entrada (1,2) igual a 1. A matriz zero tem entrada (1,2) igual a 0. Portanto
\mathbf{0}_{2\times3}\notin \mathrm{W}_{2}.
Como o vetor zero não pertence a \mathrm{W}_{2}, já podemos concluir que \mathrm{W}_{2} não é um subespaço vetorial. (Esse é o teste mais direto.)]

Passo 4

Para fixar a intuição, mostro contraexemplos concretos também para as propriedades de fechamento:
Escolha a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\in\mathrm{W}_{2}
(é da forma dada com a=0,b=0,c=0). Multiplicando por \lambda=0 obtém-se
0\cdot A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\mathbf{0}_{2\times3},
que, como vimos, não pertence a \mathrm{W}_{2}. Assim a propriedade de fechamento por multiplicação escalar falha.]

Passo 5

Outra falha: fechamento por soma.
Tome
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\in\mathrm{W}_{2}, \qquad B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\in\mathrm{W}_{2}.
A soma é
A+B=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},
que tem entrada (1,2) igual a 2, não igual a 1. Logo A+B\notin\mathrm{W}_{2}. Portanto \mathrm{W}_{2} não é fechado por soma.]

Passo 6

Conclusão e dica de prova em prova: basta mostrar que a matriz zero não pertence ao conjunto para negar que seja subespaço. Alternativamente, exibir um exemplo de \lambda X ou X+Y que sai do conjunto também prova a mesma coisa. No caso de \mathrm{W}_{2} ambas as abordagens demonstram claramente que não é subespaço.
Observação útil: se o 1 fixo na posição (1,2) fosse 0 em vez de 1, isto é, se o conjunto fosse
\left\{\begin{pmatrix} 0 & 0 & a\\[4pt] b & c & 0 \end{pmatrix}\right\},
então esse novo conjunto seria um subespaço (é isomorfo a \mathbb{R}^3, gerado pelas matrizes E_{13},E_{21},E_{22}). Isso ajuda a entender por que o valor fixo 1 estraga a estrutura linear: ele impede a presença do vetor zero e a estabilidade por escala e soma.]

Resposta

\mathrm{W}_{2} não é subespaço vetorial.

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