Das seguintes transições eletrônicas do átomo de hidrogênio qual transição resulta na emissãode fótons mais energéticos?
\mathbf{n} \boldsymbol{=} \mathbf{1} para \mathbf{n} \boldsymbol{=} \mathbf{6}.
\mathbf{n} \boldsymbol{=} \mathbf{6} para \mathbf{n} \boldsymbol{=} \mathbf{1}.
\mathbf{n} \boldsymbol{=} \mathbf{6} para \mathbf{n} \boldsymbol{=} \mathbf{3}.
n=3 para n=6.

Passo 1

O enunciado pergunta qual das seguintes transições do átomo de hidrogênio resulta na emissão do fóton mais energético. As transições dadas são:
\mathrm{n}=1 \to \mathrm{n}=6,
\mathrm{n}=6 \to \mathrm{n}=1,
\mathrm{n}=6 \to \mathrm{n}=3,
\mathrm{n}=3 \to \mathrm{n}=6.
Anotei cada uma e vou comparar as energias dos fótons emitidos (quando houver emissão).

Passo 2

Fórmula básica (modelo de Bohr) para a energia do nível \mathrm{n} do hidrogênio:
E_n = -\frac{13,6\\ \text{eV}}{n^2}.
Aqui \;E_n\; é a energia do nível com número quântico \;n\;. Valores mais negativos significam níveis mais ligados (mais próximos do núcleo). Vou usar essa fórmula para calcular as energias dos níveis envolvidos.

Passo 3

Regra para emissão/absorção:
  • Emissão ocorre quando o elétron vai de um nível inicial \mathrm{n}_i mais alto (maior n) para um nível final \mathrm{n}_f mais baixo (menor n). A energia do fóton emitido é
E_\gamma = E_{\text{inicial}} - E_{\text{final}}.
  • Se a transição for para cima (menor n para maior n), não há emissão: há absorção, e a energia necessária é |E_\gamma| = E_{\text{final}} - E_{\text{inicial}}.
Vou calcular as energias dos níveis e, depois, as diferenças para cada transição. Só compararei as transições que realmente correspondem a emissão.

Passo 4

Calcular E_1, E_3 e E_6 usando a fórmula:
E_1 = -\frac{13,6\\ \text{eV}}{1^2} = -13,6\\ \text{eV} = -\frac{68}{5}\\ \text{eV},
E_3 = -\frac{13,6\\ \text{eV}}{3^2} = -\frac{13,6}{9}\\ \text{eV} = -\frac{68}{45}\\ \text{eV} \approx -1,511\overline{1}\\ \text{eV},
E_6 = -\frac{13,6\\ \text{eV}}{6^2} = -\frac{13,6}{36}\\ \text{eV} = -\frac{17}{45}\\ \text{eV} \approx -0,3777\overline{7}\\ \text{eV}.

Passo 5

Calcular as energias dos fótons (ou energia necessária) para cada transição e identificar quais são emissões:
  1. \mathrm{n}=1 \to \mathrm{n}=6: é subida (absorção). Energia necessária
E_{\text{abs}} = E_6 - E_1 = -\frac{17}{45} - \left(-\frac{68}{5}\right) = \frac{119}{9}\\ \text{eV} \approx 13,222\overline{2}\\ \text{eV}.
Não é emissão, então não entra na disputa por “fóton emitido mais energético”.
  1. \mathrm{n}=6 \to \mathrm{n}=1: é descida (emissão). Energia do fóton:
E_\gamma = E_6 - E_1 = -\frac{17}{45} - \left(-\frac{68}{5}\right) = \frac{119}{9}\\ \text{eV} \approx 13,222\overline{2}\\ \text{eV}.
  1. \mathrm{n}=6 \to \mathrm{n}=3: é descida (emissão). Energia do fóton:
E_\gamma = E_6 - E_3 = -\frac{17}{45} - \left(-\frac{68}{45}\right) = \frac{51}{45} = \frac{17}{15}\\ \text{eV} \approx 1,133\overline{3}\\ \text{eV}.
  1. \mathrm{n}=3 \to \mathrm{n}=6: é subida (absorção). Energia necessária
E_{\text{abs}} = E_6 - E_3 = \frac{17}{15}\\ \text{eV} \approx 1,133\overline{3}\\ \text{eV}.
Também não é emissão.
Comparando as emissões reais ( \mathrm{n}=6\to1 com \approx 13,222\overline{2}\\ \text{eV} e \mathrm{n}=6\to3 com \approx 1,133\overline{3}\\ \text{eV}), a maior energia é a da transição \mathrm{n}=6 \to \mathrm{n}=1.

Passo 6

Resumo didático rápido: quanto maior a queda de energia entre níveis (ou seja, quanto maior a diferença entre E_{\text{inicial}} e E_{\text{final}}), mais energético é o fóton emitido. A queda de n=6 para n=1 é muito maior que de 6 para 3, portanto produz o fóton mais energético. Força aí — você tirou o maior medo desse tipo de questão!

Resposta

\mathrm{n}=6 \to \mathrm{n}=1

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