Quais dos seguintes vectores podem ser escritos como combinação linear de
\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}, onde
\mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 3 \end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{c} 3 \\\\ -1 \\\\ 5 \\\\ 2 \end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{3}=\left[\begin{array}{c} -1 \\\\ 0 \\\\ 2 \\\\ 1 \end{array}\right] .
\left[\begin{array}{c}2 \\\\ 3 \\\\ -7 \\\\ 3\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se o vetor
\left[\begin{array}{c}2 \\\\ 3 \\\\ -7 \\\\ 3\end{array}\right]
pode ser escrito como combinação linear dos vetores \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} dados. Dados fornecidos (copiei do enunciado):
\mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{c}2\\\ 1\\\ 0\\\ 3\end{array}\right],\qquad \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{c}3\\\ -1\\\ 5\\\ 2\end{array}\right],\qquad \mathbf{v}_{3}=\left[\begin{array}{c}-1\\\ 0\\\ 2\\\ 1\end{array}\right].
Pergunta explícita: existe escalares (reais) \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\mathbf{v}_1+\beta\mathbf{v}_2+\gamma\mathbf{v}_3= \left[\begin{array}{c}2\\\ 3\\\ -7\\\ 3\end{array}\right]?
Se sim, encontrar esses escalares.

Passo 2

O que significa “escrever como combinação linear” — breve explicação didática:
Uma combinação linear de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 é qualquer vetor da forma
\alpha\mathbf{v}_1+\beta\mathbf{v}_2+\gamma\mathbf{v}_3,
onde \alpha,\beta,\gamma são números reais (os coeficientes). Para saber se um vetor b pertence ao espaço gerado por \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 (ou seja, se está no “span”), montamos um sistema linear nos coeficientes igualando componente a componente. Se o sistema tem solução, então b é combinação linear; se não tem solução, então não é.

Passo 3

Escrever o sistema componente a componente. Denotando o vetor alvo por
\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}2\\\ 3\\\ -7\\\ 3\end{array}\right],
a igualdade \alpha\mathbf{v}_1+\beta\mathbf{v}_2+\gamma\mathbf{v}_3=\mathbf{b} dá o sistema
\begin{cases} 2\alpha+3\beta-1\gamma=2,\\[4pt] \alpha-\beta+0\gamma=3,\\[4pt] 0\alpha+5\beta+2\gamma=-7,\\[4pt] 3\alpha+2\beta+\gamma=3. \end{cases}
Cada linha corresponde à igualdade das componentes em ordem (1ª componente, 2ª, 3ª, 4ª).]

Passo 4

Escolha do método de resolução (explicação): o sistema tem 4 equações e 3 incógnitas. Podemos usar eliminação por linhas (redução de matriz aumentada) ou substituição. Aqui a segunda equação é simples ( \alpha-\beta=3) e a terceira não envolve \alpha, então a substituição é rápida e cansativa zero. Vou usar substituição por ser mais direto e fácil de seguir sem precisar desenhar muitas operações de linha.

Passo 5

Resolver passo a passo usando substituição. Da segunda equação temos:
\alpha-\beta=3\quad\Rightarrow\quad \alpha=3+\beta.
Vou expressar \alpha em função de \beta e substituir nas outras equações.

Passo 6

Substituir \alpha=3+\beta na primeira equação:
2\alpha+3\beta-\gamma=2.
Substituindo:
2(3+\beta)+3\beta-\gamma=2.
Desenvolvendo os termos:
6+2\beta+3\beta-\gamma=2.
Somando os termos em \beta:
6+5\beta-\gamma=2.
Isolando \gamma:
5\beta-\gamma=2-6=-4\quad\Rightarrow\quad -\gamma=-4-5\beta\quad\Rightarrow\quad \gamma=4+5\beta.

Passo 7

Agora usar a terceira equação, que não envolve \alpha:
5\beta+2\gamma=-7.
Substituindo \gamma=4+5\beta:
5\beta+2(4+5\beta)=-7.
Calcular:
5\beta+8+10\beta=-7.
Somando os \beta:
15\beta+8=-7.
Isolando \beta:
15\beta=-7-8=-15\quad\Rightarrow\quad \beta=-1.

Passo 8

Com \beta=-1 voltamos às expressões encontradas:
\alpha=3+\beta=3+(-1)=2,
\gamma=4+5\beta=4+5(-1)=4-5=-1.
Logo \alpha=2,\\ \beta=-1,\\ \gamma=-1.

Passo 9

Verificação final (sempre confira!): substituir \alpha,\beta,\gamma na quarta equação:
3\alpha+2\beta+\gamma=3\cdot 2+2(-1)+(-1)=6-2-1=3,
que coincide com o lado direito da quarta equação. Também já satisfazemos a primeira e a terceira pelas operações anteriores. Portanto a solução está correta.

Passo 10

Interpretação final: como existem \alpha,\beta,\gamma que satisfazem o sistema, o vetor alvo está no espaço gerado por \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3. Escrevendo explicitamente a combinação linear:
\left[\begin{array}{c}2\\\ 3\\\ -7\\\ 3\end{array}\right] =2\,\mathbf{v}_1-1\,\mathbf{v}_2-1\,\mathbf{v}_3.

Resposta

\left[\begin{array}{c}2\\\ 3\\\ -7\\\ 3\end{array}\right]=2\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3

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