O que significa “escrever como combinação linear” — breve explicação didática:
Uma combinação linear de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 é qualquer vetor da forma
onde \alpha,\beta,\gamma são números reais (os coeficientes). Para saber se um vetor b pertence ao espaço gerado por \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 (ou seja, se está no “span”), montamos um sistema linear nos coeficientes igualando componente a componente. Se o sistema tem solução, então b é combinação linear; se não tem solução, então não é.
Passo 3
Escrever o sistema componente a componente. Denotando o vetor alvo por
Cada linha corresponde à igualdade das componentes em ordem (1ª componente, 2ª, 3ª, 4ª).]
Passo 4
Escolha do método de resolução (explicação): o sistema tem 4 equações e 3 incógnitas. Podemos usar eliminação por linhas (redução de matriz aumentada) ou substituição. Aqui a segunda equação é simples (\alpha-\beta=3) e a terceira não envolve \alpha, então a substituição é rápida e cansativa zero. Vou usar substituição por ser mais direto e fácil de seguir sem precisar desenhar muitas operações de linha.
Passo 5
Resolver passo a passo usando substituição. Da segunda equação temos:
que coincide com o lado direito da quarta equação. Também já satisfazemos a primeira e a terceira pelas operações anteriores. Portanto a solução está correta.
Passo 10
Interpretação final: como existem \alpha,\beta,\gamma que satisfazem o sistema, o vetor alvo está no espaço gerado por \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3. Escrevendo explicitamente a combinação linear: