O enunciado pergunta quais dos vetores dados podem ser escritos como combinação linear de \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}. As informações relevantes fornecidas são:
Não vamos resolver nada ainda — aqui só identifiquei o que é pedido e os dados disponíveis.]
Passo 2
O que significa escrever um vetor como combinação linear de \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}?
Definição: dizer que o vetor \mathbf{w} é combinação linear de \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} significa que existem escalares (números) a,b,c tais que
Aqui cada escalar multiplica todo o vetor e depois somam-se as componentes. Um caso muito importante e simples é o vetor nulo \mathbf{0}: se eu escolho a=b=c=0 (todos os coeficientes zero), então sempre
Esse é chamado de combinação linear trivial que representa o vetor nulo — ou seja, o vetor nulo é sempre combinação linear de quaisquer vetores (basta usar coeficientes todos nulos). Isso já sugere que a resposta será “sim”, mas vamos mostrar isso de forma algébrica e explicar se essa representação é única ou não (útil para a prova).
Passo 3
Para ser formal, procuramos escalares a,b,c\) tais que
\[a\mathbf{v}_{1}+b\mathbf{v}_{2}+c\mathbf{v}_{3}= \begin{bmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix}.
Escrevendo componente a componente (cada linha dá uma equação), obtemos o sistema
Com a=0 obtemos b=a=0 e c=5a=0. Podemos verificar rapidamente que a quarta equação também fica satisfeita:
3a+2b+c=3\cdot 0+2\cdot 0+0=0.
Portanto o único conjunto de coeficientes que resolve o sistema é a=b=c=0. Isso mostra duas coisas importantes: (i) existe uma combinação linear que dá o vetor nulo (a trivial, com todos coeficientes zero); (ii) essa combinação é a única — isto é, \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} são linearmente independentes (prova rápida: só a combinação trivial dá \mathbf{0}).
Passo 5
Conclusão prática e dica para prova: sempre que o vetor a testar for o vetor nulo, você pode imediatamente afirmar que ele é combinação linear dos vetores dados, porque a escolha a=b=c=0 funciona. Se a questão pedir também se essa representação é única (ou pedir os coeficientes), é bom resolver o sistema como fizemos para mostrar que não existe combinação não trivial. Na hora da prova, escreva a combinação trivial e, se pedirem, comente sobre unicidade mostrando que o sistema implica a=b=c=0.