Quais dos seguintes vectores podem ser escritos como combinação linear de
\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}, onde
\mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 3 \end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{c} 3 \\\\ -1 \\\\ 5 \\\\ 2 \end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{3}=\left[\begin{array}{c} -1 \\\\ 0 \\\\ 2 \\\\ 1 \end{array}\right] .
\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pergunta quais dos vetores dados podem ser escritos como combinação linear de \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}. As informações relevantes fornecidas são:
\mathbf{v}_{1}=\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]3\end{bmatrix},\quad \mathbf{v}_{2}=\begin{bmatrix}3\\[4pt]-1\\[4pt]5\\[4pt]2\end{bmatrix},\quad \mathbf{v}_{3}=\begin{bmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]2\\[4pt]1\end{bmatrix},
e o vetor que queremos testar é
\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix}.
Não vamos resolver nada ainda — aqui só identifiquei o que é pedido e os dados disponíveis.]

Passo 2

O que significa escrever um vetor como combinação linear de \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}?
Definição: dizer que o vetor \mathbf{w} é combinação linear de \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} significa que existem escalares (números) a,b,c tais que
a\mathbf{v}_{1}+b\mathbf{v}_{2}+c\mathbf{v}_{3}=\mathbf{w}.
Aqui cada escalar multiplica todo o vetor e depois somam-se as componentes. Um caso muito importante e simples é o vetor nulo \mathbf{0}: se eu escolho a=b=c=0 (todos os coeficientes zero), então sempre
0\mathbf{v}_{1}+0\mathbf{v}_{2}+0\mathbf{v}_{3}=\mathbf{0}.
Esse é chamado de combinação linear trivial que representa o vetor nulo — ou seja, o vetor nulo é sempre combinação linear de quaisquer vetores (basta usar coeficientes todos nulos). Isso já sugere que a resposta será “sim”, mas vamos mostrar isso de forma algébrica e explicar se essa representação é única ou não (útil para a prova).

Passo 3

Para ser formal, procuramos escalares a,b,c\) tais que \[a\mathbf{v}_{1}+b\mathbf{v}_{2}+c\mathbf{v}_{3}= \begin{bmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix}.
Escrevendo componente a componente (cada linha dá uma equação), obtemos o sistema
\begin{cases} 2a+3b-1c=0,\\[4pt] 1a-1b+0c=0,\\[4pt] 0a+5b+2c=0,\\[4pt] 3a+2b+1c=0. \end{cases}
Aqui cada linha vem de somar as componentes correspondentes dos vetores multiplicadas por (a,b,c].]

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo, mostrando raciocínio que você pode reproduzir na prova.
Da segunda equação temos
a-b=0 \quad\Rightarrow\quad a=b.
Substituindo b=a na primeira equação:
2a+3b-c=0 \quad\Rightarrow\quad 2a+3a-c=0 \quad\Rightarrow\quad 5a-c=0 \quad\Rightarrow\quad c=5a.
Substituímos b=a e c=5a na terceira equação:
5b+2c=0 \quad\Rightarrow\quad 5a+2(5a)=0 \quad\Rightarrow\quad 5a+10a=15a=0 \quad\Rightarrow\quad a=0.
Com a=0 obtemos b=a=0 e c=5a=0. Podemos verificar rapidamente que a quarta equação também fica satisfeita:
3a+2b+c=3\cdot 0+2\cdot 0+0=0.
Portanto o único conjunto de coeficientes que resolve o sistema é a=b=c=0. Isso mostra duas coisas importantes: (i) existe uma combinação linear que dá o vetor nulo (a trivial, com todos coeficientes zero); (ii) essa combinação é a única — isto é, \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} são linearmente independentes (prova rápida: só a combinação trivial dá \mathbf{0}).

Passo 5

Conclusão prática e dica para prova: sempre que o vetor a testar for o vetor nulo, você pode imediatamente afirmar que ele é combinação linear dos vetores dados, porque a escolha a=b=c=0 funciona. Se a questão pedir também se essa representação é única (ou pedir os coeficientes), é bom resolver o sistema como fizemos para mostrar que não existe combinação não trivial. Na hora da prova, escreva a combinação trivial e, se pedirem, comente sobre unicidade mostrando que o sistema implica a=b=c=0.

Resposta

\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix}=0\mathbf{v}_{1}+0\mathbf{v}_{2}+0\mathbf{v}_{3}.]

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