A seguir encontra-se o campo de direções da e.d.o. de primeira ordem não linear
Determine qual será o comportamento da solução do P.V.I. no longo termo quando,
Passo 1
O enunciado dá a E.D.O.
e pede: dado o P.V.I. com condição inicial
, qual é o comportamento da solução no longo prazo (isto é,
)?
Informações relevantes fornecidas:
- A equação diferencial autônoma é
. - A condição inicial está no intervalo
. - Foi fornecido um campo de direções (imagem) relacionado à E.D.O.; usarei informações visuais dessa imagem para confirmar o sinal de
nas faixas de .
Passo 2
Primeiro fatoramos o lado direito para identificar pontos de equilíbrio. Vamos fatorar
:
Portanto
Pontos de equilíbrio (onde
) ocorrem quando qualquer fator é zero:
Explicação didática: um ponto de equilíbrio (ou solução constante) é um valor
tal que, se a solução começar em
, então
e a solução permanece em
para todo o tempo. Identificar equilíbrios é o primeiro passo para entender o comportamento assintótico.
Passo 3
Agora determinamos o sinal de
nas diferentes faixas de
. Observe que
para todo
e só é zero em
. Assim o sinal de
é dado pelo sinal de
(exceto em
onde
).
Analisando os intervalos:
- Se
: então e ⇒ ⇒ . - Se
: então e ⇒ ⇒ . - Se
: então e ⇒ ⇒ . - Se
: então e ⇒ ⇒ .
Interpretação didática: quando
a solução sobe (aumenta com
); quando
a solução desce (diminui com
). Para nosso P.V.I. estamos na faixa
, onde acabamos de ver que
, ou seja, a solução inicialmente decresce.
Peguei da imagem fornecida que, na faixa
, as setas do campo de direções apontam para baixo (confirmando derivada negativa), o que corrobora o resultado algébrico acima.
Passo 4
Classificação qualitativa dos equilíbrios (explicando como se conclui):
-
: para tem-se (vem para cima) e para tem-se (vem para baixo). Ambos os lados apontam em direção a ⇒ é estável (sumidouro). -
: para tem-se (afasta-se para baixo) e para tem-se (afasta-se para cima). Ambos os lados afastam ⇒ é instável (fonte). -
: note que é um fator de multiplicidade 2. Para (à direita de 1) temos (movimento para baixo, ou seja, em direção a ), enquanto para (à esquerda de 1, mas maior que ) também temos (movimento para baixo, ou seja, para valores menores que 1). Assim, imediatamente à direita de as soluções são atraídas para , mas imediatamente à esquerda de as soluções são empurradas para baixo (afastam-se de ). Isso caracteriza como um ponto semiestável: atrai soluções vindas da direita e repele soluções vindas da esquerda.
Explicação didática: multiplicidade par do zero costuma tornar o equilíbrio semiestável; olhar o sinal da derivada em cada lado mostra direção do fluxo.
Passo 5
Foco no caso inicial
. Já concluímos que:
- A solução começa com
? Não — concluímos . Então decresce. - Em que ela pode parar? Há um equilíbrio em
abaixo do intervalo inicial. Pelo sinal de , a solução é empurrada para baixo em direção a .
Agora precisamos decidir se a solução atinge
em tempo finito (e aí fica estacionária) ou se aproxima de
apenas assintoticamente quando
. Para isso fazemos uma análise local próxima a
.
Passo 6
Análise local perto de
. Defina
. Para
pequeno (ou seja
pouco maior que
) temos:
Portanto
Para
pequeno e positivo, os fatores
e
tendem a
e
, respectivamente, então o produto
tende a
— um valor finito não nulo. Assim, para
suficientemente pequeno existe uma constante
tal que
Resolver a equação aproximada
por separação dá:
ou seja
Isso mostra que
quando
, mas que o tempo necessário para
chegar exatamente a
é infinito (pois a função
só atinge zero quando
). De forma mais rigorosa, como
permanece próxima de
para
pequeno, uma comparação direta mostra que o tempo para atingir
é infinito.
Explicação didática: termos quadráticos pequenos em
dão decaimento do tipo
. Isso implica aproximação assintótica e não atingimento em tempo finito.
Passo 7
Conclusão do comportamento de longo prazo para
:
- A solução decresce porque
nessa faixa. - Ela é atraída para o equilíbrio
vindo da direita. - Atingir exatamente
em tempo finito não ocorre; a solução aproxima-se de quando .
Portanto o limite quando
é
.