A seguir encontra-se o campo de direções da e.d.o. de primeira ordem não linear y^{\prime}= \left(y^{2}-y-2\right)(1-y)^{2}:
Determine qual será o comportamento da solução do P.V.I. no longo termo quando,
0<y(0)<1,

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y' = (y^{2}-y-2)(1-y)^{2}
e pede: para a solução do problema de valor inicial com condição 0<y(0)<1, qual é o comportamento no longo termo (isto é, quando t\to+\infty)?
Informações relevantes fornecidas:
  • A função do lado direito é f(y)=(y^{2}-y-2)(1-y)^{2}.
  • A condição inicial é algum valor com 0<y(0)<1.
  • Foi fornecido um campo de direções (imagem) do qual se pode extrair indicação do sinal de y' nas diversas regiões do eixo y.

Passo 2

Vamos identificar os pontos de equilíbrio (ou pontos estacionários): são os valores de y tais que y'=0, ou seja, as raízes de
f(y)=(y^{2}-y-2)(1-y)^{2}.
Primeiro fatoramos y^{2}-y-2:
y^{2}-y-2=(y-2)(y+1).
Portanto
f(y)=(y-2)(y+1)(1-y)^{2}.
As raízes (equilíbrios) são os valores de y que anulam f(y):
y=-1,\qquad y=1,\qquad y=2.
Observe que y=1 é uma raiz de multiplicidade 2 (devido ao fator (1-y)^{2}).
Explicação didática breve: equilibríos são valores constantes y(t)\equiv y_* para os quais a derivada é zero. São importantes porque soluções próximas tendem a ser atraídas ou repelidas por esses pontos dependendo do sinal de f(y).

Passo 3

Fazer análise do sinal de f(y) em cada intervalo entre os equilíbrios ajuda a entender o sentido do movimento das soluções (linha de fase). Vamos analisar o sinal dos três fatores em cada região:
  • O fator (y-2) é negativo se y<2 e positivo se y>2.
  • O fator (y+1) é negativo se y<-1 e positivo se y>-1.
  • O fator (1-y)^{2} é sempre não negativo e só é zero em y=1. Como é quadrado, é sempre positivo para y\neq1.
Agora escolhemos pontos de teste em cada intervalo para determinar o sinal de f.
  • Para y>2 (por exemplo y=3): (y-2)>0, (y+1)>0, (1-y)^{2}>0 \Rightarrow f(y)>0. Assim y'>0 e as soluções sobem.
  • Para 1<y<2 (por exemplo y=1{,}5): (y-2)<0, (y+1)>0, (1-y)^{2}>0 \Rightarrow f(y)<0. Assim y'<0 e as soluções descem.
  • Para -1<y<1 (por exemplo y=0{,}5): (y-2)<0, (y+1)>0, (1-y)^{2}>0 \Rightarrow f(y)<0. Portanto y'<0 e as soluções descem.
  • Para y<-1 (por exemplo y=-2): (y-2)<0, (y+1)<0, (1-y)^{2}>0 \Rightarrow f(y)>0. Portanto y'>0 e as soluções sobem.
Tabela-resumo (sinal de y'):
\begin{array}{c|c} \text{Intervalo em }y & \text{sinal de }y'\\hline y>2 & +\\\\ 1<y<2 & -\\\\ -1<y<1 & -\\\ y<-1 & + \end{array}
Interpretação didática: onde y'>0 as soluções aumentam com t; onde y'<0 elas diminuem. Assim, entre -1 e 1 a derivada é negativa: qualquer solução com valor nessa faixa será estritamente decrescente.

Passo 4

Aplicando isso ao caso pedido: a condição inicial satisfaz 0<y(0)<1, ou seja, a solução inicia no intervalo (-1,1). Pelos sinais acima, para todo tempo em que a solução permanecer em (-1,1) vale y'(t)<0. Logo y(t) é estritamente decrescente enquanto estiver nesse intervalo.
Agora argumentos que garantem o limite quando t\to+\infty:
  1. A solução é decrescente e, além disso, não pode cruzar o equilíbrio y=-1 instantaneamente: se em algum instante t_0 ocorresse y(t_0)=-1, então a solução teria chegado a um equilíbrio e ficaria ali (pois f(-1)=0). Se não alcança exatamente -1 em tempo finito, permanece sempre maior que -1 porque, ao aproximar-se de -1 por cima, o sinal de f é negativo e faz a solução continuar decrescendo mas sem ultrapassar imediatamente; crossing seria impossível sem primeiro atingir -1. Em termos mais elementares: a função y(t) é decrescente e limitada inferiormente por -1, pois para y\le -1 o sinal de y' muda (fica positivo), o que impede que a solução passe arbitrariamente para valores menores que -1 sem antes passar por y=-1.
  2. Uma função monotona (aqui decrescente) e limitada inferiormente converge quando t\to+\infty. Portanto existe o limite
L=\lim_{t\to+\infty} y(t)
com -1\le L\le 1.
  1. Tomando limite na equação diferencial e usando que y'(t)\to0 quando t\to+\infty (porque y(t) converge), obtemos
0=\lim_{t\to\infty} y'(t)=\lim_{t\to\infty} f(y(t))=f(L).
Logo L deve ser uma raiz de f, ou seja L\in\{-1,1,2\}. Como y(t) permanece sempre menor que 1 (iniciou menor que 1 e é decrescente), o limite não pode ser 1 nem 2. Assim a única possibilidade é
L=-1.
Conclusão didática: a solução, iniciando em (0,1), decresce monotonicamente e converge para o equilíbrio estável y=-1 quando t\to+\infty.

Passo 5

Comentário adicional sobre estabilidade dos equilíbrios (para reforçar a intuição):
  • y=-1 é um ponto de equilíbrio estável (atrator): soluções com y ligeiramente maiores descem em direção a -1, e com y ligeiramente menores sobem em direção a -1.
  • y=1 é semiestável: soluções que começam com y>1 tendem para 1, mas soluções com y<1 são repelidas (descem), portanto y=1 atrai pela direita e repele pela esquerda.
  • y=2 é instável no sentido usual (repelente à direita e atraente à esquerda? pelo sinal verificado, para y>2 sobe mais, para 1<y<2 desce em direção a 1, então 2 não é um atrator para a esquerda).

Passo 6

Observação sobre a imagem: pegou-se da imagem o padrão do campo de direções que confirma os sinais deduzidos analiticamente (setas apontando para baixo em -1<y<1, etc.). A imagem é coerente com a conclusão de que soluções começando em (0,1) descem e tendem a -1.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to+\infty} y(t) = -1

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