A seguir encontra-se o campo de direções da e.d.o. de primeira ordem não linear
Determine qual será o comportamento da solução do P.V.I. no longo termo quando,
,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
e pede: para a solução do problema de valor inicial com condição
, qual é o comportamento no longo termo (isto é, quando
)?
Informações relevantes fornecidas:
- A função do lado direito é
. - A condição inicial é algum valor com
. - Foi fornecido um campo de direções (imagem) do qual se pode extrair indicação do sinal de
nas diversas regiões do eixo .
Passo 2
Vamos identificar os pontos de equilíbrio (ou pontos estacionários): são os valores de
tais que
, ou seja, as raízes de
Primeiro fatoramos
:
Portanto
As raízes (equilíbrios) são os valores de
que anulam
:
Observe que
é uma raiz de multiplicidade
(devido ao fator
).
Explicação didática breve: equilibríos são valores constantes
para os quais a derivada é zero. São importantes porque soluções próximas tendem a ser atraídas ou repelidas por esses pontos dependendo do sinal de
.
Passo 3
Fazer análise do sinal de
em cada intervalo entre os equilíbrios ajuda a entender o sentido do movimento das soluções (linha de fase). Vamos analisar o sinal dos três fatores em cada região:
- O fator
é negativo se e positivo se . - O fator
é negativo se e positivo se . - O fator
é sempre não negativo e só é zero em . Como é quadrado, é sempre positivo para .
Agora escolhemos pontos de teste em cada intervalo para determinar o sinal de
.
- Para
(por exemplo ): , , . Assim e as soluções sobem. - Para
(por exemplo ): , , . Assim e as soluções descem. - Para
(por exemplo ): , , . Portanto e as soluções descem. - Para
(por exemplo ): , , . Portanto e as soluções sobem.
Tabela-resumo (sinal de
):
Interpretação didática: onde
as soluções aumentam com
; onde
elas diminuem. Assim, entre
e
a derivada é negativa: qualquer solução com valor nessa faixa será estritamente decrescente.
Passo 4
Aplicando isso ao caso pedido: a condição inicial satisfaz
, ou seja, a solução inicia no intervalo
. Pelos sinais acima, para todo tempo em que a solução permanecer em
vale
. Logo
é estritamente decrescente enquanto estiver nesse intervalo.
Agora argumentos que garantem o limite quando
:
-
A solução é decrescente e, além disso, não pode cruzar o equilíbrio
instantaneamente: se em algum instante ocorresse , então a solução teria chegado a um equilíbrio e ficaria ali (pois ). Se não alcança exatamente em tempo finito, permanece sempre maior que porque, ao aproximar-se de por cima, o sinal de é negativo e faz a solução continuar decrescendo mas sem ultrapassar imediatamente; crossing seria impossível sem primeiro atingir . Em termos mais elementares: a função é decrescente e limitada inferiormente por , pois para o sinal de muda (fica positivo), o que impede que a solução passe arbitrariamente para valores menores que sem antes passar por . -
Uma função monotona (aqui decrescente) e limitada inferiormente converge quando
. Portanto existe o limite
com
.
- Tomando limite na equação diferencial e usando que
quando (porque converge), obtemos
Logo
deve ser uma raiz de
, ou seja
. Como
permanece sempre menor que
(iniciou menor que
e é decrescente), o limite não pode ser
nem
. Assim a única possibilidade é
Conclusão didática: a solução, iniciando em
, decresce monotonicamente e converge para o equilíbrio estável
quando
.
Passo 5
Comentário adicional sobre estabilidade dos equilíbrios (para reforçar a intuição):
-
é um ponto de equilíbrio estável (atrator): soluções com ligeiramente maiores descem em direção a , e com ligeiramente menores sobem em direção a . -
é semiestável: soluções que começam com tendem para , mas soluções com são repelidas (descem), portanto atrai pela direita e repele pela esquerda. -
é instável no sentido usual (repelente à direita e atraente à esquerda? pelo sinal verificado, para sobe mais, para desce em direção a , então não é um atrator para a esquerda).
Passo 6
Observação sobre a imagem: pegou-se da imagem o padrão do campo de direções que confirma os sinais deduzidos analiticamente (setas apontando para baixo em
, etc.). A imagem é coerente com a conclusão de que soluções começando em
descem e tendem a
.