A seguir encontra-se o campo de direções da e.d.o. de primeira ordem não linear y^{\prime}= \left(y^{2}-y-2\right)(1-y)^{2}:
Determine qual será o comportamento da solução do P.V.I. no longo termo quando,
y(0)>2.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y'=(y^{2}-y-2)(1-y)^{2}
e pede: determinar o comportamento da solução do problema de valor inicial (P.V.I.) no longo termo quando y(0)>2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação diferencial autônoma é y'=f(y) com f(y)=(y^{2}-y-2)(1-y)^{2}.
  • A condição inicial está na região y(0)>2.
  • Há um campo de direções fornecido (usei a imagem enviada para confirmar o sentido das setas).

Passo 2

Primeiro fatoro f(y) para identificar equilibria:
y^{2}-y-2=(y-2)(y+1),
portanto
f(y)=(y-2)(y+1)(1-y)^{2}.
Os pontos onde f(y)=0 (equilíbrios constantes) são \;y=-1,\;y=1,\;y=2.

Passo 3

Explico rapidamente a ideia que vou usar: para uma EDO autônoma y'=f(y) o comportamento no longo prazo depende do sinal de f(y) nos intervalos entre os equilíbrios. Onde f(y)>0 as soluções crescem ( y aumenta com t ); onde f(y)<0 as soluções decrescem.
Como (1-y)^{2}\ge 0 para todo y (é um quadrado), o sinal de f(y) é o mesmo do produto (y-2)(y+1). Faço a tabela de sinais por intervalos:
  • Para y>2: y-2>0 e y+1>0 (y-2)(y+1)>0 f(y)>0.
  • Para 1<y<2: y-2<0 e y+1>0 (y-2)(y+1)<0 f(y)<0.
  • Para -1<y<1: y-2<0 e y+1>0 f(y)<0.
  • Para y<-1: y-2<0 e y+1<0 (y-2)(y+1)>0 f(y)>0.
Interpretação qualitativa:
  • Em y>2 as soluções são estritamente crescentes.
  • Em -1<y<2 (exceto exatamente em y=1) as soluções são decrescentes.
  • Em y<-1 as soluções são crescentes.
Também vale notar que y=1 é uma raiz de multiplicidade maior (pois o fator (1-y)^{2} aparece), o que faz com que f'(1)=0 e y=1 seja um equilíbrio com comportamento semi-estável (atrai por uma das direções e repele pela outra — detalhe não necessário para y(0)>2, só curiosidade).

Passo 4

Agora aplico isso ao P.V.I. com y(0)>2. Como mostrado, para qualquer y>2 vale f(y)>0. Portanto a solução que começa com y(0)>2 é estritamente crescente: t\mapsto y(t) aumenta.
Não existe equilíbrio com y>2 (o maior equilíbrio é y=2), logo a solução não pode convergir para um equilíbrio finito maior que 2. Sob essas condições a única possibilidade é que y(t) tenda para +\infty conforme t avança (ou, dito de outra forma, que a solução saia para valores arbitrariamente grandes de y).

Passo 5

Falta decidir se esse crescimento para +\infty acontece “lentamente” quando t\to\infty (crescimento assintótico) ou se ocorre em tempo finito (explosão em tempo finito). Para isso faço uma comparação assintótica para y grande.
Para grandes y o termo dominante em f(y) é y^{4} (porque (y^{2}-y-2)(y-1)^{2}\sim y^{2}\cdot y^{2}=y^{4}). De fato podemos escrever
f(y)=y^{4}\cdot\bigl(1-\tfrac{1}{y}-\tfrac{2}{y^{2}}\bigr)\bigl(1-\tfrac{1}{y}\bigr)^{2}.
O fator entre parênteses tende a 1 quando y\to\infty. Logo existe M>2 tal que, para todo y\ge M,
f(y)\ge \tfrac{1}{2}y^{4}.
(uma escolha explícita possível é M=6: verificar num cálculo rápido que o produto dos parênteses em y=6 já é maior que 1/2, portanto para y\ge 6 vale a desigualdade).
Agora uso comparação por desigualdade diferencial. Seja y(t) solução com y(0)>2. Dois fatos:
  1. Como y(t) é contínua e estritamente crescente, se y(0)<M então há um tempo finito t_1 em que y(t_1)=M (porque em [y(0),M] a função f é contínua e positiva, tem mínimo m>0, logo leva tempo finito (M-y(0))/m para atingir M).
  2. Para t\ge t_1 (quando y(t)\ge M) vale y'(t)=f(y(t))\ge \tfrac{1}{2}y(t)^{4}.
Integrando a desigualdade inversa obtemos, para t\ge t_1,
\int_{y(t_1)}^{y(t)} \frac{dy}{y^{4}} \le \int_{t_1}^{t} \tfrac{1}{2}\,dt.
O lado esquerdo é
\int_{y(t_1)}^{y(t)} y^{-4}\,dy = \left[-\tfrac{1}{3}y^{-3}\right]_{y(t_1)}^{y(t)} = \tfrac{1}{3}\bigl(y(t_1)^{-3}-y(t)^{-3}\bigr).
Levando y(t)\to\infty o termo y(t)^{-3}\to 0, o tempo necessário para que y vá de y(t_1) até +\infty fica majorado por
\Delta T \le \tfrac{1}{2}\cdot \text{(tempo direito)} \Longrightarrow \text{tempo restante} \le \frac{1}{3}y(t_1)^{-3}\cdot 2 = \frac{2}{3\,y(t_1)^{3}}<\infty.
Ou seja, a solução atinge +\infty em tempo finito após t_1. Combinando com o tempo finito para alcançar M, concluímos que a solução explodirá para +\infty em tempo finito.
Resumo intuitivo: porque y' cresce como y^{4} quando y fica grande, y acelera cada vez mais e alcança valores arbitrariamente grandes em tempo finito.

Passo 6

Conclusão verbal e encorajamento: se y(0)>2 então a solução é monotonicamente crescente, não tem onde “parar” em um equilíbrio finito, e cresce tão rápido que diverge para +\infty em tempo finito (explosão). Então não existe um limite finito quando t\to\infty; o comportamento é "vai para +\infty" — e isso acontece antes de t chegar a algum valor finito de explosão.

Resposta

A solução com y(0)>2 é estritamente crescente e diverge para +\infty; a divergência ocorre em tempo finito (explosão para +\infty).

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