A seguir encontra-se o campo de direções da e.d.o. de primeira ordem não linear
Determine qual será o comportamento da solução do P.V.I. no longo termo quando,
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede: determinar o comportamento da solução do problema de valor inicial (P.V.I.) no longo termo quando
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação diferencial autônoma é
com . - A condição inicial está na região
. - Há um campo de direções fornecido (usei a imagem enviada para confirmar o sentido das setas).
Passo 2
Primeiro fatoro
para identificar equilibria:
portanto
Os pontos onde
(equilíbrios constantes) são
.
Passo 3
Explico rapidamente a ideia que vou usar: para uma EDO autônoma
o comportamento no longo prazo depende do sinal de
nos intervalos entre os equilíbrios. Onde
as soluções crescem (
aumenta com
); onde
as soluções decrescem.
Como
para todo
(é um quadrado), o sinal de
é o mesmo do produto
. Faço a tabela de sinais por intervalos:
- Para
: e ⇒ ⇒ . - Para
: e ⇒ ⇒ . - Para
: e ⇒ . - Para
: e ⇒ ⇒ .
Interpretação qualitativa:
- Em
as soluções são estritamente crescentes. - Em
(exceto exatamente em ) as soluções são decrescentes. - Em
as soluções são crescentes.
Também vale notar que
é uma raiz de multiplicidade maior (pois o fator
aparece), o que faz com que
e
seja um equilíbrio com comportamento semi-estável (atrai por uma das direções e repele pela outra — detalhe não necessário para
, só curiosidade).
Passo 4
Agora aplico isso ao P.V.I. com
. Como mostrado, para qualquer
vale
. Portanto a solução que começa com
é estritamente crescente:
aumenta.
Não existe equilíbrio com
(o maior equilíbrio é
), logo a solução não pode convergir para um equilíbrio finito maior que
. Sob essas condições a única possibilidade é que
tenda para
conforme
avança (ou, dito de outra forma, que a solução saia para valores arbitrariamente grandes de
).
Passo 5
Falta decidir se esse crescimento para
acontece “lentamente” quando
(crescimento assintótico) ou se ocorre em tempo finito (explosão em tempo finito). Para isso faço uma comparação assintótica para
grande.
Para grandes
o termo dominante em
é
(porque
). De fato podemos escrever
O fator entre parênteses tende a
quando
. Logo existe
tal que, para todo
,
(uma escolha explícita possível é
: verificar num cálculo rápido que o produto dos parênteses em
já é maior que
, portanto para
vale a desigualdade).
Agora uso comparação por desigualdade diferencial. Seja
solução com
. Dois fatos:
- Como
é contínua e estritamente crescente, se então há um tempo finito em que (porque em a função é contínua e positiva, tem mínimo , logo leva tempo finito para atingir ). - Para
(quando ) vale .
Integrando a desigualdade inversa obtemos, para
,
O lado esquerdo é
Levando
o termo
, o tempo necessário para que
vá de
até
fica majorado por
Ou seja, a solução atinge
em tempo finito após
. Combinando com o tempo finito para alcançar
, concluímos que a solução explodirá para
em tempo finito.
Resumo intuitivo: porque
cresce como
quando
fica grande,
acelera cada vez mais e alcança valores arbitrariamente grandes em tempo finito.
Passo 6
Conclusão verbal e encorajamento: se
então a solução é monotonicamente crescente, não tem onde “parar” em um equilíbrio finito, e cresce tão rápido que diverge para
em tempo finito (explosão). Então não existe um limite finito quando
; o comportamento é "vai para
" — e isso acontece antes de
chegar a algum valor finito de explosão.
Resposta
A solução com
é estritamente crescente e diverge para
; a divergência ocorre em tempo finito (explosão para
).