A seguir encontra-se o campo de direções da e.d.o. de primeira ordem não linear
Indique as soluções de equilibrio.
Passo 1
O enunciado dá a e.d.o. de primeira ordem
e pede: indicar as soluções de equilíbrio.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- A função do lado direito é
. - Uma solução de equilíbrio (ou ponto de equilíbrio) é uma solução constante
tal que para todo .
A resolução começa agora: primeiro encontrar todos os valoresque anulam o lado direito.
Passo 2
Encontrar as raízes da função do lado direito. Primeiro fatoro o polinômio quadrático:
Portanto a função que define a velocidade é
Uma solução constante
é equilíbrio se e somente se
. Logo procuramos
tais que
Passo 3
Resolver cada fator igual a zero:
-
. -
. -
(multiplicidade 2).
Assim os pontos ondesão . Essas são as soluções de equilíbrio (constantes) da e.d.o.
Passo 4
Explicação didática do que isso significa (para a prova): uma solução de equilíbrio é uma solução constante
que satisfaz
sempre. Para encontrar esses
basta resolver
onde
é o lado direito da e.d.o. Aqui fatoramos e achamos os três valores acima. Fácil de aplicar em prova: fatorar o lado direito sempre que possível e resolver os fatores.
Passo 5
Classificação qualitativa (útil para entender o campo de direções): analisar a estabilidade dos equilíbrios usando diagrama de sinais de
. Note que
para todo
e não muda de sinal (é sempre não‑negativa), então o sinal de
vem do produto
.
- Para
: e ⇒ produto positivo ⇒ (soluções aumentam). - Para
(especificamente entre e ): e ⇒ produto negativo ⇒ (soluções diminuem). - Para
: ambos fatores positivos ⇒ (soluções aumentam).
Com isso:
- Em
: à esquerda (sobe em direção a ), à direita (desce em direção a ). Logo fluxos vão para de ambos os lados ⇒ é estável (atrator). - Em
: à esquerda (vai para menor que 2), à direita (vai para maior que 2). Fluxos saem de 2 de ambos os lados ⇒ é instável (repulsor). - Em
(raiz dupla): o fator quadrado faz ter sinal igual em ambos os lados dado pelo coeficiente onde . Avaliando , então para perto de ou seja é negativo para próximos a . Isso implica que: - Para
próximo a : e a solução decresce em direção a (movimento para o equilíbrio). - Para
próximo a : e a solução decresce afastando‑se de .
Portantoé semi‑estável: atrai soluções vindas de valores maiores que e repele soluções vindas de valores menores que (estabilidade unidirecional). Em provas, quando a raiz tem multiplicidade par costuma ocorrer esse comportamento de semiestabilidade.
- Para
Passo 6
(Complemento com linearização) Para raízes simples pode-se verificar
:
Avaliações:
Isto confirma a classificação do passo anterior. Na prova: use o teste
se
; se
(raiz múltipla) examine termos de ordem superior (ou o sinal de
à esquerda e à direita).