A seguir encontra-se o campo de direções da e.d.o. de primeira ordem não linear y^{\prime}= \left(y^{2}-y-2\right)(1-y)^{2}:
Indique as soluções de equilibrio.

Passo 1

O enunciado dá a e.d.o. de primeira ordem
y'=(y^{2}-y-2)(1-y)^{2},
e pede: indicar as soluções de equilíbrio.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função do lado direito é (y^{2}-y-2)(1-y)^{2}.
  • Uma solução de equilíbrio (ou ponto de equilíbrio) é uma solução constante y(t)=c tal que y'(t)=0 para todo t.
    A resolução começa agora: primeiro encontrar todos os valores y=c que anulam o lado direito.

Passo 2

Encontrar as raízes da função do lado direito. Primeiro fatoro o polinômio quadrático:
y^{2}-y-2=(y-2)(y+1).
Portanto a função que define a velocidade é
f(y)=(y-2)(y+1)(1-y)^{2}.
Uma solução constante y(t)=c é equilíbrio se e somente se f\text{(c)}=0. Logo procuramos c tais que
(y-2)(y+1)(1-y)^{2}=0.

Passo 3

Resolver cada fator igual a zero:
  • y-2=0 \Rightarrow y=2.
  • y+1=0 \Rightarrow y=-1.
  • (1-y)^{2}=0 \Rightarrow 1-y=0 \Rightarrow y=1 (multiplicidade 2).
    Assim os pontos onde f(y)=0 são \,y=-1,\;y=1,\;y=2. Essas são as soluções de equilíbrio (constantes) da e.d.o.

Passo 4

Explicação didática do que isso significa (para a prova): uma solução de equilíbrio é uma solução constante y(t)=c que satisfaz y'(t)=0 sempre. Para encontrar esses c basta resolver f\text{(c)}=0 onde f é o lado direito da e.d.o. Aqui fatoramos e achamos os três valores acima. Fácil de aplicar em prova: fatorar o lado direito sempre que possível e resolver os fatores.

Passo 5

Classificação qualitativa (útil para entender o campo de direções): analisar a estabilidade dos equilíbrios usando diagrama de sinais de f(y). Note que (1-y)^{2}\ge0 para todo y e não muda de sinal (é sempre não‑negativa), então o sinal de f(y) vem do produto (y-2)(y+1).
  • Para y<-1: (y+1)<0 e (y-2)<0 ⇒ produto positivo ⇒ f(y)>0 (soluções aumentam).
  • Para -1<y<2 (especificamente entre -1 e 2): (y+1)>0 e (y-2)<0 ⇒ produto negativo ⇒ f(y)<0 (soluções diminuem).
  • Para y>2: ambos fatores positivos ⇒ f(y)>0 (soluções aumentam).
Com isso:
  • Em y=-1: à esquerda f>0 (sobe em direção a -1), à direita f<0 (desce em direção a -1). Logo fluxos vão para -1 de ambos os lados ⇒ y=-1 é estável (atrator).
  • Em y=2: à esquerda f<0 (vai para menor que 2), à direita f>0 (vai para maior que 2). Fluxos saem de 2 de ambos os lados ⇒ y=2 é instável (repulsor).
  • Em y=1 (raiz dupla): o fator quadrado faz f(y) ter sinal igual em ambos os lados dado pelo coeficiente g(1) onde g(y)=(y-2)(y+1). Avaliando g(1)=(1-2)(1+1)=-2, então para y perto de 1 f(y)\approx -2\,(y-1)^{2}\le 0,ou seja f(y) é negativo para y\neq1 próximos a 1. Isso implica que:
    • Para y>1 próximo a 1: y'\!<0 e a solução decresce em direção a 1 (movimento para o equilíbrio).
    • Para y<1 próximo a 1: y'\!<0 e a solução decresce afastando‑se de 1.
      Portanto y=1 é semi‑estável: atrai soluções vindas de valores maiores que 1 e repele soluções vindas de valores menores que 1 (estabilidade unidirecional). Em provas, quando a raiz tem multiplicidade par costuma ocorrer esse comportamento de semiestabilidade.

Passo 6

(Complemento com linearização) Para raízes simples pode-se verificar f'\text{(c)}:
f(y)=(y-2)(y+1)(y-1)^{2}, \qquad f'(y)=(y-1)\bigl(4y^{2}-5y-3\bigr).
Avaliações:
f'(-1)=-12<0\quad(\text{estável}),\qquad f'(2)=3>0\quad(\text{instável}),\qquad f'(1)=0\\ (\text{caso degenerado}).áá
Isto confirma a classificação do passo anterior. Na prova: use o teste f'\text{(c)} se f'\text{(c)}\neq0; se f'\text{(c)}=0 (raiz múltipla) examine termos de ordem superior (ou o sinal de f à esquerda e à direita).

Resposta

y(t)=-1
y(t)=1
y(t)=2

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