Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem.” Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que:
a o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.
b a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
c entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional.
d entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.
e a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre os conjuntos numéricos e pede para identificar qual das opções está correta em relação aos elementos desses conjuntos. Para isso, vamos precisar conhecer um pouquinho sobre números inteiros, números racionais, números irracionais e números reais.

Passo 2

Vamos entender cada opção uma por uma.
Opção a: O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.
Primeiro, o que são números irracionais? São números que não podem ser expressos como fração de dois inteiros, como π ou √2. Agora, se multiplicarmos dois irracionais, às vezes o resultado pode ser racional. Por exemplo, √2 × √2 = 2, que é racional. Então, essa opção não é sempre verdadeira.

Passo 3

Opção b: A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
Vamos ver um exemplo: π + (-π) = 0, que é um número racional. Então, mesmo somando dois irracionais, pode dar um racional. Portanto, essa afirmação também não é sempre verdadeira.

Passo 4

Opção c: Entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional.
Os números reais entre 3 e 4 são infinitos, e muitos deles são irracionais. Por exemplo, 3.1, √10 (que está entre 3 e 4) são irracionais. Então, essa afirmação está errada.

Passo 5

Opção d: Entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.
Vamos pensar em dois números racionais, como 1/2 e 3/4. Entre eles, sempre podemos encontrar outro número racional, como 2/3. Isso acontece porque os números racionais são densos nos reais, ou seja, entre dois racionais sempre tem outro racional. Então, essa opção está correta.

Passo 6

Opção e: A diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo.
Vamos pegar dois inteiros negativos, por exemplo, -3 e -5. A diferença entre eles é (-3) - (-5) = 2, que é um número inteiro positivo. Portanto, essa afirmação está errada.

Resposta

A opção correta é a d, que afirma que entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.

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