Pergunta 11 pts
Um morador de uma região metropolitana tem
de probabilidade de atrasar-se para o trabalho quando chove na região; caso não chova, sua probabilidade de atraso é de
. Para um determinado dia, o serviço de meteorologia estima em 30% a probabilidade da ocorrência de chuva nessa região.
Qual é a probabilidade de ter chovido, sabendo-se que o morador se atrasou para o trabalho?
0,325
0,600
0,075
0,4615
0,1500
Um morador de uma região metropolitana tem
0,325
0,600
0,075
0,4615
0,1500
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que vem a seguir:
- Probabilidade de chover naquele dia:
. - Se chove, a probabilidade do morador se atrasar é
. - Se não chove, a probabilidade do morador se atrasar é
. - Pergunta: qual é a probabilidade de ter chovido, sabendo-se que o morador se atrasou? Ou seja, calcular
.
Passo 2
Entendendo o objetivo e as quantidades envolvidas (sem ainda calcular): queremos a probabilidade condicionada
. Para chegar nela precisamos das probabilidades condicionais que o enunciado deu e da probabilidade de observar um atraso
. Vou explicar as fórmulas que vamos usar.
- Definição de probabilidade condicional: para dois eventos
e ,
Isto significa: a probabilidade de
acontecer dado que
aconteceu é a razão entre a probabilidade dos dois acontecerem juntos e a probabilidade de
.
- Teorema da probabilidade total (caso de partição em dois eventos): se temos
e seu complemento ,
No nosso problema, isso serve para calcular
olhando separadamente para os casos “chove” e “não chove”.
- Teorema de Bayes (que relaciona tudo): a partir da definição de probabilidade condicional, para eventos
e ,
Aqui
será “Atraso” e
será “Chuva”. Vou explicar o que cada termo significa quando aplicar.
Passo 3
Aplicando o Teorema da Probabilidade Total para encontrar
.
- Identificamos:
“Atraso”, “Chuva”, “Não Chuva”. - A fórmula dá:
- Sabendo
temos . (Isto é o complemento: ou chove ou não chove.) - Substituindo os números fornecidos:
Passo 4
Fazendo as contas para
passo a passo (para você poder replicar na prova sem calculadora):
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Soma:
Interpretação: em média, a probabilidade do morador se atrasar naquele dia (sem sabermos se choveu) é
ou
.
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema de Bayes para obter
. A fórmula é
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 6
Fazendo a simplificação numérica com cuidado:
- Numerador:
. - Então
Podemos simplificar como fração exata:
e
. Então
Passo 7
Converter a fração para decimal (útil para comparar com as alternativas da prova):
-
em decimal é aproximadamente . - Arredondando para quatro casas decimais (como aparece na alternativa), obtemos
.
Interpretação final (responsável e motivadora): isso significa que, sabendo que o morador se atrasou, a chance de que isso tenha ocorrido devido à chuva é cerca de
. Ou seja, mesmo com atraso, o fato de ter chovido não é mais provável que não ter chovido (pois 46,15% < 50%), porque o atraso também pode ocorrer quando não chove.