Pergunta 11 pts
Um morador de uma região metropolitana tem 50 \% de probabilidade de atrasar-se para o trabalho quando chove na região; caso não chova, sua probabilidade de atraso é de 25 \%. Para um determinado dia, o serviço de meteorologia estima em 30% a probabilidade da ocorrência de chuva nessa região.
Qual é a probabilidade de ter chovido, sabendo-se que o morador se atrasou para o trabalho?
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0,325
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0,600
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0,075
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0,4615
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0,1500

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que vem a seguir:
  • Probabilidade de chover naquele dia: P(\text{Chuva})=0,30.
  • Se chove, a probabilidade do morador se atrasar é P(\text{Atraso}\mid \text{Chuva})=0,50.
  • Se não chove, a probabilidade do morador se atrasar é P(\text{Atraso}\mid \text{Não\;Chuva})=0,25ã.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de ter chovido, sabendo-se que o morador se atrasou? Ou seja, calcular P(\text{Chuva}\mid \text{Atraso}).

Passo 2

Entendendo o objetivo e as quantidades envolvidas (sem ainda calcular): queremos a probabilidade condicionada P(\text{Chuva}\mid \text{Atraso}). Para chegar nela precisamos das probabilidades condicionais que o enunciado deu e da probabilidade de observar um atraso P(\text{Atraso}). Vou explicar as fórmulas que vamos usar.
  • Definição de probabilidade condicional: para dois eventos A e B,
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Isto significa: a probabilidade de A acontecer dado que B aconteceu é a razão entre a probabilidade dos dois acontecerem juntos e a probabilidade de B.
  • Teorema da probabilidade total (caso de partição em dois eventos): se temos B e seu complemento B^c,
P(A)=P(A\mid B)P(B)+P(A\mid B^c)P(B^c).
No nosso problema, isso serve para calcular P(\text{Atraso}) olhando separadamente para os casos “chove” e “não chove”.
  • Teorema de Bayes (que relaciona tudo): a partir da definição de probabilidade condicional, para eventos A e B,
P(B\mid A)=\frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}.
Aqui A será “Atraso” e B será “Chuva”. Vou explicar o que cada termo significa quando aplicar.

Passo 3

Aplicando o Teorema da Probabilidade Total para encontrar P(\text{Atraso}).
  • Identificamos: A= “Atraso”, B= “Chuva”, B^c= “Não Chuva”.
  • A fórmula dá:
P(\text{Atraso})=P(\text{Atraso}\mid \text{Chuva})P(\text{Chuva})+P(\text{Atraso}\mid \text{Não\;Chuva})P(\text{Não\;Chuva}).ãã
  • Sabendo P(\text{Chuva})=0,30 temos P(\text{Não\;Chuva})=1-0,30=0,70ã. (Isto é o complemento: ou chove ou não chove.)
  • Substituindo os números fornecidos:
P(\text{Atraso})=0,50\cdot 0,30 + 0,25\cdot 0,70.

Passo 4

Fazendo as contas para P(\text{Atraso}) passo a passo (para você poder replicar na prova sem calculadora):
  • Primeiro termo: 0,50\cdot 0,30 = 0,15.
  • Segundo termo: 0,25\cdot 0,70 = 0,175.
  • Soma:
P(\text{Atraso})=0,15+0,175=0,325.
Interpretação: em média, a probabilidade do morador se atrasar naquele dia (sem sabermos se choveu) é 0,325 ou 32,5\%.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema de Bayes para obter P(\text{Chuva}\mid \text{Atraso}). A fórmula é
P(\text{Chuva}\mid \text{Atraso})=\frac{P(\text{Atraso}\mid \text{Chuva})P(\text{Chuva})}{P(\text{Atraso})}.
Substituindo os valores conhecidos:
P(\text{Chuva}\mid \text{Atraso})=\frac{0,50\cdot 0,30}{0,325}.

Passo 6

Fazendo a simplificação numérica com cuidado:
  • Numerador: 0,50\cdot 0,30=0,15.
  • Então
P(\text{Chuva}\mid \text{Atraso})=\frac{0,15}{0,325}.
Podemos simplificar como fração exata: 0,15=\dfrac{3}{20} e 0,325=\dfrac{13}{40}. Então
\frac{0,15}{0,325}=\frac{3/20}{13/40}=\frac{3}{20}\cdot\frac{40}{13}=\frac{3\cdot 2}{13}=\frac{6}{13}.

Passo 7

Converter a fração para decimal (útil para comparar com as alternativas da prova):
  • \dfrac{6}{13} em decimal é aproximadamente 0,461538\ldots.
  • Arredondando para quatro casas decimais (como aparece na alternativa), obtemos 0,4615.
Interpretação final (responsável e motivadora): isso significa que, sabendo que o morador se atrasou, a chance de que isso tenha ocorrido devido à chuva é cerca de 46{,}15\%. Ou seja, mesmo com atraso, o fato de ter chovido não é mais provável que não ter chovido (pois 46,15% < 50%), porque o atraso também pode ocorrer quando não chove.

Resposta

0,4615

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