Seja f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} derivável. Suponha que f(0)=0 \mathrm{e}
\left|f^{\prime}(x)\right| \leq|f(x)|, \quad \forall x \in[0,1]
Passo 1
O enunciado nos dá uma função f:[0,1]\to\mathbb{R} que é derivável, com a condição inicial
f(0)=0
e a desigualdade válida para todo x\in[0,1]:
\left|f'(x)\right|\le |f(x)|.
O que o problema pede (implícito no enunciado típico) é mostrar que a única função que satisfaz essas hipóteses é a função nula, isto é, provar que
f(x)=0\quad\text{para todo }x\in[0,1].
Aqui estão, portanto, os dados relevantes: a diferenciabilidade de f no intervalo, o valor f(0)=0 e a desigualdade entre \left|f'(x)\right| e |f(x)| para todo x.
Passo 2
Ideia do método (sem pular passos): vamos transformar o problema numa desigualdade para uma função não negativa construída a partir de f, de modo que possamos aplicar uma técnica de fator integrante (ou uma versão elementar do lema de Gronwall). Uma escolha natural é definir a função
u(x)=\bigl(f(x)\bigr)^2.
Por que escolhemos u? Porque u\ge0 sempre, e como f é derivável, u é diferenciável e o seu u' é fácil de calcular: relações quadráticas muitas vezes simplificam desigualdades envolvendo |f| e |f'|.
Passo 3
Calculemos a derivada de u. Usamos a regra da cadeia para potência:
u'(x)=\bigl(f(x)^2\bigr)'=2f(x)\,f'(x).
Agora usamos a desigualdade dada \left|f'(x)\right|\le |f(x)|. Primeiro note que
Como sabemos que u'(x)\le 2u(x), segue que u'(x)-2u(x)\le 0. Como e^{-2x}>0 para todo x, concluímos
v'(x)\le 0\quad\text{para todo }x\in[0,1].
Isto significa que v é uma função não crescente no intervalo [0,1].
Passo 5
Avalie v em 0. Temos u(0)=\bigl(f(0)\bigr)^2=0^2=0, então
v(0)=u(0)e^{-2\cdot 0}=0.
Como v é não crescente e v(0)=0, para qualquer x\ge0 no intervalo temos v(x)\le v(0)=0. Ou seja,
v(x)\le 0\quad\text{para todo }x\in[0,1].
Passo 6
Mas por definição v(x)=u(x)e^{-2x} com u(x)\ge0 e e^{-2x}>0, logo v(x)\ge0 também. Juntando as duas informações:
0\le v(x)\le 0\quad\Rightarrow\quad v(x)=0\quad\text{para todo }x\in[0,1].
Daí segue u(x)=v(x)e^{2x}=0 para todo x. E lembrando que u(x)=\bigl(f(x)\bigr)^2, temos
\bigl(f(x)\bigr)^2=0\quad\Rightarrow\quad f(x)=0\quad\text{para todo }x\in[0,1].
Passo 7
Resumo da técnica (para você lembrar na prova): transformamos f em u=f^2 para obter uma função não negativa; derivamos e usamos |f'|\le|f| para obter u'\le 2u; aplicamos fator integrante e^{-2x} para ver que u e^{-2x} é não crescente e, com a condição inicial u(0)=0, concluímos que u é identicamente zero. É uma aplicação direta e elemental do método de fator integrante / desigualdade de Gronwall.