Mostre que se
é positiva e derivável em um intervalo
, então
Passo 1
Enunciado e dados: temos uma função
que é positiva e diferenciável em um intervalo
. O que o problema pede é mostrar que, para todo
,
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Nada mais é dado. A meta é provar a igualdade acima para cada ponto
.
Passo 2
Definição de derivada (lembrando o que vamos usar): para qualquer função
diferenciável em
,
Aqui vamos aplicar essa definição à função
. Então
Esse é o ponto de partida; agora vamos transformar essa diferença usando propriedades do logaritmo.
Passo 3
Usamos a propriedade
. Aplicando-a:
Como
(dado) e
é contínua, para
pequeno
também é positivo, então a fração dentro do
está bem definida. Agora definimos uma quantidade auxiliar que facilita o limite:
Com isso temos
e a expressão acima fica
Passo 4
Reescrevemos
como um produto que separa uma razão que conhecemos do comportamento de
:
Esta fatoração é útil porque agora podemos estudar os limites dos dois fatores separadamente quando
.
Passo 5
Estudo do segundo fator
. Usando a definição de
,
Como
é diferenciável em
, sabemos que
Portanto
Observe que aqui usamos também que
(garantido por
) para poder dividir por
.
Passo 6
Estudo do primeiro fator
. Precisamos mostrar que
Para isso note que, como
é contínua,
. Assim é equivalente estudar
Aplicamos o Teorema do Valor Médio (TVM) à função
no intervalo que vai de
até
(para
suficientemente pequeno, esse intervalo está dentro do domínio
de
). O TVM garante a existência de
entre
e
tal que
Como
e o denominador é
, temos
Quando
, o ponto
fica entre
e
, logo
. Assim
Portanto
Passo 7
Agora juntamos os dois limites obtidos nos Passos 5 e 6. Da fatoração do Passo 4,
Tomando limite quando
e usando que o produto de limites (quando existem) é o limite do produto, obtemos
Pelo Passo 2 isso significa exatamente que
Passo 8
Comentário final rápido (estímulo): o raciocínio acima foi feito só com a definição de derivada, propriedades do logaritmo e o Teorema do Valor Médio aplicado ao
. Na prática, quem já conhece a regra da cadeia pode pensar:
; o que fizemos aqui é a demonstração detalhada desse mesmo fato usando limites — é o jeito “sem atalho”, perfeito para prova.