Seja f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua tal que f(0)=f(1). Mostre que existe um \xi \in[0,1 / 2] tal que f(\xi)=f(\xi+1 / 2).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função contínua f:[0,1]\to\mathbb{R} com f(0)=f(1) e pede para mostrar que existe \xi\in[0,\tfrac12] tal que
f(\xi)=f\bigl(\xi+\tfrac12\bigr).
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para uma função auxiliar.

Passo 2

Definimos a função auxiliar g:[0,\tfrac12]\to\mathbb{R} por
g(x)=f(x)-f\bigl(x+\tfrac12\bigr).
Como f é contínua em [0,1], segue que g é contínua em [0,\tfrac12], pois é combinação de composições e diferenças de funções contínuas.

Passo 3

Vamos avaliar g nos extremos do intervalo [0,\tfrac12].
g(0)=f(0)-f\bigl(\tfrac12\bigr), \quad g\bigl(\tfrac12\bigr)=f\bigl(\tfrac12\bigr)-f(1).
Mas como f(1)=f(0), temos
g\bigl(\tfrac12\bigr)=f\bigl(\tfrac12\bigr)-f(0)=-\bigl(f(0)-f(\tfrac12)\bigr)=-g(0).

Passo 4

Se g(0)=0, então f(0)=f(\tfrac12) e basta escolher \xi=0.
Caso contrário, g(0) e g(\tfrac12)=-g(0) têm sinais opostos. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe \xi\in(0,\tfrac12) tal que
g(\xi)=0.
Daí f(\xi)-f(\xi+\tfrac12)=0, ou seja, f(\xi)=f(\xi+\tfrac12).

Resposta

Mostramos que sempre existe \xi\in[0,\tfrac12] tal que
f(\xi)=f\bigl(\xi+\tfrac12\bigr).

Exercícios relacionados