Seja
uma função contínua tal que
. Mostre que existe um
tal que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função contínua
com
e pede para mostrar que existe
tal que
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para uma função auxiliar.
Passo 2
Definimos a função auxiliar
por
Como
é contínua em
, segue que
é contínua em
, pois é combinação de composições e diferenças de funções contínuas.
Passo 3
Vamos avaliar
nos extremos do intervalo
.
Mas como
, temos
Passo 4
Se
, então
e basta escolher
.
Caso contrário, e
têm sinais opostos. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe
tal que
Caso contrário,
Daí
, ou seja,
.
Resposta
Mostramos que sempre existe
tal que