Determine, se possível, as constantes a e b \in \mathbb{R} de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto x_{o}. Esboce o gráfico:
v(x)=\left\{\begin{array}{l}2 a \cdot \cos (\pi+x)+1, x<0 \\\\ 7 x-3 a, x=0 \\\ b-2 x^{2}, x>0\end{array} \quad\left(x_{o}=0\right)\right.

Passo 1

O enunciado define a função
v(x)= \begin{cases} 2a\cos(\pi+x)+1, & x<0,\\\\ 7x-3a, & x=0,\\\ b-2x^2, & x>0, \end{cases}
e pede para achar a,b\in\mathbb{R} de modo que v seja contínua em x_0=0. Para isso precisamos usar a condição
\lim_{x\to0^-}v(x)=v(0)=\lim_{x\to0^+}v(x).

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda:
\lim_{x\to0^-}v(x) =\lim_{x\to0^-}\bigl(2a\cos(\pi+x)+1\bigr) =2a\cos(\pi)+1=-2a+1.

Passo 3

Avaliar a função em x=0:
v(0)=7\cdot0-3a=-3a.

Passo 4

Calcular o limite pela direita:
\lim_{x\to0^+}v(x) =\lim_{x\to0^+}(b-2x^2)=b.

Passo 5

Impor continuidade em 0:
-2a+1 = -3a \quad\text{e}\quad -3a = b.

Passo 6

Resolver -2a+1=-3a:
-2a+1=-3a \;\Longrightarrow\;a+1=0 \;\Longrightarrow\;a=-1.
Então b=-3a=-3(-1)=3.

Passo 7

Com a=-1 e b=3 a função fica contínua. Para esboçar o gráfico note que:
  • Para x<0:
    v(x)=2(-1)\cos(\pi+x)+1=2\cos x+1, ramo ondulante terminando em (0,3).
  • Em x=0: v(0)=3.
  • Para x>0:
    v(x)=3-2x^2, uma parábola voltada para baixo com vértice em (0,3).

Resposta

a=-1,\;b=3.

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