Seja f:[0,1] \rightarrow[0,1] uma função contínua. Responda:
a) Mostre que existe x \in[0,1], tal que f(x)=x.
b) Mostre também que existe x \in[0,1], tal que f(x)=1-x.
c) Prove o seguinte fato mais geral: Se g é contínua em [0,1] e g(0)=0, g(1)=1 ou g(0)=1, g(1)= 0 , então f\text{(c)}=g\text{(c)} para algum c em [0,1].

Passo 1

O enunciado pede três resultados sobre uma função contínua f\colon[0,1]\to[0,1]:
a) mostrar que existe x\in[0,1] com f(x)=x, ou seja, um ponto fixo;
b) mostrar que existe x\in[0,1] com f(x)=1-x;
c) provar a versão geral em que, dada uma função contínua g em [0,1] com g(0)=0 e g(1)=1 (ou vice-versa), existe c tal que f\text{(c)}=g\text{(c)}.
O que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário, aplicando-o a funções auxiliares do tipo f(x) menos alguma outra função linear.

Passo 2

Para (a) definimos a função
h(x)=f(x)-x.
Como f(x)\in[0,1] para todo x, temos
h(0)=f(0)-0\ge0 \quad\text{e}\quad h(1)=f(1)-1\le0.
Como h é contínua (diferença de contínuas) e h(0)\ge0, h(1)\le0, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe x\in[0,1] tal que
h(x)=0,
isto é, f(x)=x.

Passo 3

Para (b) consideramos
k(x)=f(x)-(1-x)=f(x)+x-1.
Então
k(0)=f(0)+0-1\le0 \quad\text{e}\quad k(1)=f(1)+1-1=f(1)\ge0.
Como k é contínua, novamente por Valor Intermediário existe x\in[0,1] com
k(x)=0,
ou seja, f(x)=1-x.

Passo 4

Para (c) seja g contínua em [0,1] com (g(0),g(1)) igual a (0,1) ou (1,0). Definimos
\varphi(x)=f(x)-g(x).
Como f e g são contínuas, \varphi é contínua. Se g(0)=0 e g(1)=1, então
\varphi(0)=f(0)-0\ge0 \quad\text{e}\quad \varphi(1)=f(1)-1\le0,
logo há c com \varphi\text{(c)}=0, ou seja, f\text{(c)}=g\text{(c)}. Se g(0)=1 e g(1)=0, o raciocínio é análogo trocando sinais nos extremos, e conclui-se do mesmo modo que existe c com f\text{(c)}=g\text{(c)}.

Resposta

a) Existe x\in[0,1] tal que f(x)=x.
b) Existe x\in[0,1] tal que f(x)=1-x.
c) Se g é contínua em [0,1] com \bigl(g(0),g(1)\bigr) igual a (0,1) ou (1,0), então existe c\in[0,1] tal que f\text{(c)}=g\text{(c)}.

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