Seja
uma função contínua. Responda:
a) Mostre que existe
, tal que
.
b) Mostre também que existe
, tal que
.
c) Prove o seguinte fato mais geral: Se
é contínua em
e
ou
0 , então
para algum
em
.
a) Mostre que existe
b) Mostre também que existe
c) Prove o seguinte fato mais geral: Se
Passo 1
O enunciado pede três resultados sobre uma função contínua
:
a) mostrar que existe com
, ou seja, um ponto fixo;
b) mostrar que existe com
;
c) provar a versão geral em que, dada uma função contínua em
com
e
(ou vice-versa), existe
tal que
.
O que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário, aplicando-o a funções auxiliares do tipo menos alguma outra função linear.
a) mostrar que existe
b) mostrar que existe
c) provar a versão geral em que, dada uma função contínua
O que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário, aplicando-o a funções auxiliares do tipo
Passo 2
Para (a) definimos a função
Como
para todo
, temos
Como
é contínua (diferença de contínuas) e
,
, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe
tal que
isto é,
.
Passo 3
Para (b) consideramos
Então
Como
é contínua, novamente por Valor Intermediário existe
com
ou seja,
.
Passo 4
Para (c) seja
contínua em
com
igual a
ou
. Definimos
Como
e
são contínuas,
é contínua. Se
e
, então
logo há
com
, ou seja,
. Se
e
, o raciocínio é análogo trocando sinais nos extremos, e conclui-se do mesmo modo que existe
com
.
Resposta
a) Existe
tal que
.
b) Existe tal que
.
c) Se é contínua em
com
igual a
ou
, então existe
tal que
.
b) Existe
c) Se