Responda o que se pede:
Suponhamos que uma função
satisfaz
, e que f é contínua em 0 . Prove que
é contínua em
.
Suponhamos que uma função
Passo 1
O enunciado diz que
satisfaz
para todos
e que
é contínua em
. Queremos mostrar que isso implica que
é contínua em todo ponto
.
Passo 2
Mostramos primeiro que
. Usando a aditividade em
vem
logo
e portanto
Passo 3
Recordando a definição de continuidade em
: para dado
existe
tal que
Como acabamos de ver
, isso fica
Passo 4
Seja agora um ponto arbitrário
. Queremos provar que
. Dado
, use o mesmo
do passo anterior. Se
, definindo
obtemos
Isso mostra que para todo
existe
com
implicando
, ou seja,
é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em todo
.