Responda o que se pede:
Suponhamos que uma função f satisfaz f(x+y)=f(x)+f(y), e que f é contínua em 0 . Prove que f é contínua em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado diz que f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} satisfaz
f(x+y)=f(x)+f(y)
para todos x,y\in\mathbb{R} e que f é contínua em 0. Queremos mostrar que isso implica que f é contínua em todo ponto a\in\mathbb{R}.

Passo 2

Mostramos primeiro que f(0)=0. Usando a aditividade em x=y=0 vem
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2\,f(0),
logo 2\,f(0)-f(0)=0 e portanto
f(0)=0.

Passo 3

Recordando a definição de continuidade em 0: para dado \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que
|h|<\delta\quad\implies\quad |f(h)-f(0)|<\varepsilon.
Como acabamos de ver f(0)=0, isso fica
|h|<\delta\quad\implies\quad |f(h)|<\varepsilon.

Passo 4

Seja agora um ponto arbitrário a\in\mathbb{R}. Queremos provar que \lim_{x\to a}f(x)=f(a). Dado \varepsilon>0, use o mesmo \delta do passo anterior. Se |x-a|<\delta, definindo h=x-a obtemos
|f(x)-f(a)| =|f(a+h)-f(a)| =|f(h)| <\varepsilon.
Isso mostra que para todo a existe \delta>0 com |x-a|<\delta implicando |f(x)-f(a)|<\varepsilon, ou seja, f é contínua em a.

Resposta

A função f é contínua em todo \mathbb{R}.

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