Seja
Mostre que
e calcule
usando limite de somas inferiores (ou superiores).
Passo 1
O enunciado nos dá a função
O que nos pedem:
- Mostrar que (no sentido de Riemann).
- Calcular
usando limites de somas inferiores (ou superiores).
Informações relevantes dadas:
-
só assume os valores e . - Há uma descontinuidade (salto) em
. - O intervalo de integração é
.]
Passo 2
Vou lembrar de forma simples o que são partições, somas inferiores e superiores e o critério de integrabilidade que vamos usar.
- Uma partição
de é uma sequência de pontos
- Em cada subintervalo
definem-se -
(valor mínimo da função nesse subintervalo), -
(valor máximo nesse subintervalo).
-
- A soma inferior relativa a
é
- A soma superior relativa a
é
- A função
é Riemann-integrável em se existir um número tal que, quando a malha da partição (o maior comprimento dos subintervalos) tende a zero, as somas inferiores tendem a e as somas superiores também tendem a . Em outras palavras,
e então
.
Explicação intuitiva: para esta função, em subintervalos que não contêm
a função é constante (ou seja,
e
coincidem), e apenas os subintervalos que contêm
podem ter
e
. Se escolhermos partições que “respeitam” o ponto
(isto é, que incluem
como ponto da partição), então em todos os subintervalos a função será constante e as somas inferiores e superiores ficam fáceis de calcular.
Passo 3
Escolha prática de partições para facilitar o cálculo: tomar partições que incluam
como ponto da partição.
Sejam
e considere a partição
de
formada por
subintervalos uniformes de comprimento
, isto é,
Note que
, portanto
é exatamente um ponto da partição
. Assim, temos exatamente
subintervalos dentro de
e
subintervalos dentro de
.
Passo 4
Calcular a soma inferior
para essa partição.
- Em cada subintervalo completamente contido em
a função é identicamente . Logo para esses subintervalos . - Em cada subintervalo completamente contido em
a função é identicamente . Logo para esses subintervalos . - Como escolhemos a partição com
subintervalos em e em , todos de comprimento , temos
Há
termos no primeiro somatório e
no segundo, portanto
Observação: para todas essas partições
(com
inteiro), a soma inferior dá exatamente
.
Passo 5
Calcular a soma superior
para a mesma partição.
- Nos subintervalos em
a função é constante , então ali. - Nos subintervalos em
a função é constante , então ali. - Como nenhum subintervalo contém pontos de valores diferentes (porque
é nó da partição), temos exatamente os mesmos termos que no cálculo anterior, logo
Portanto, para cada partição
escolhida temos
.
Passo 6
Conclusão sobre integrabilidade e valor da integral.
- Como existe uma sequência de partições
cuja malha tende a zero quando e para todas essas partições , segue que
- Pelo critério de Riemann isso implica que
é integrável em e o valor da integral é .
Intuição final: apesar do salto em
, isso não impede integrabilidade porque é somente um ponto isolado; ao escolher partições que separam bem esse ponto, a contribuição do salto desaparece nas somas (a soma inferior e superior coincidem) e o integral é simplesmente a soma das áreas retangulares
no trecho
mais
no trecho
, dando
.