Seja f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}\) definida por: \[f(x)= \begin{cases}1, & \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\\ 2, & \text { se } 1<x \leq 2\end{cases}
Mostre que f\] é integrável em \([0,2] e calcule \int_{0}^{2} f(x) d x usando limite de somas inferiores (ou superiores).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f:[0,2]\to\mathbb{R}\) definida por \[f(x)=\begin{cases}1, & \text{se }0\le x\le 1,\\[4pt] 2, & \text{se }1<x\le 2.\end{cases}
O que nos pedem:
  • Mostrar que f\] é integrável em \([0,2] (no sentido de Riemann).
  • Calcular \displaystyle \int_{0}^{2} f(x)\,dx usando limites de somas inferiores (ou superiores).
Informações relevantes dadas:
  • f só assume os valores 1 e 2.
  • Há uma descontinuidade (salto) em x=1.
  • O intervalo de integração é [0,2].]

Passo 2

Vou lembrar de forma simples o que são partições, somas inferiores e superiores e o critério de integrabilidade que vamos usar.
  • Uma partição P de [0,2] é uma sequência de pontos
P=\{x_0,x_1,\dots,x_N\}\quad\text{com}\quad 0=x_0<x_1<\cdots<x_N=2.
  • Em cada subintervalo [x_{i-1},x_i] definem-se
    • m_i=\inf\{f(x):x\in[x_{i-1},x_i]\} (valor mínimo da função nesse subintervalo),
    • M_i=\sup\{f(x):x\in[x_{i-1},x_i]\} (valor máximo nesse subintervalo).
  • A soma inferior relativa a P é
L(P,f)=\sum_{i=1}^{N} m_i\,(x_i-x_{i-1}).
  • A soma superior relativa a P é
U(P,f)=\sum_{i=1}^{N} M_i\,(x_i-x_{i-1}).
  • A função f é Riemann-integrável em [0,2] se existir um número I tal que, quando a malha da partição (o maior comprimento dos subintervalos) tende a zero, as somas inferiores tendem a I e as somas superiores também tendem a I. Em outras palavras,
\sup_{P} L(P,f)=\inf_{P} U(P,f)=I,
e então \displaystyle \int_{0}^{2} f(x)\,dx=I.
Explicação intuitiva: para esta função, em subintervalos que não contêm x=1 a função é constante (ou seja, \inf e \sup coincidem), e apenas os subintervalos que contêm x=1 podem ter \inf=1 e \sup=2. Se escolhermos partições que “respeitam” o ponto x=1 (isto é, que incluem x=1 como ponto da partição), então em todos os subintervalos a função será constante e as somas inferiores e superiores ficam fáceis de calcular.

Passo 3

Escolha prática de partições para facilitar o cálculo: tomar partições que incluam x=1 como ponto da partição.
Sejam N\in\mathbb{N} e considere a partição P_N de [0,2] formada por 2N subintervalos uniformes de comprimento \Delta x=\dfrac{2}{2N}=\dfrac{1}{N}, isto é,
x_i=\frac{i}{N},\qquad i=0,1,\dots,2N.
Note que x_N=\dfrac{N}{N}=1, portanto x=1 é exatamente um ponto da partição P_N. Assim, temos exatamente N subintervalos dentro de [0,1] e N subintervalos dentro de (1,2].

Passo 4

Calcular a soma inferior L(P_N,f) para essa partição.
  • Em cada subintervalo completamente contido em [0,1] a função é identicamente 1. Logo para esses subintervalos m_i=1.
  • Em cada subintervalo completamente contido em (1,2] a função é identicamente 2. Logo para esses subintervalos m_i=2.
  • Como escolhemos a partição com N subintervalos em [0,1] e N em (1,2], todos de comprimento \Delta x=\dfrac{1}{N}, temos
L(P_N,f)=\sum_{i\\ \text{em }[0,1]} 1\cdot\frac{1}{N} \;+\; \sum_{i\\ \text{em }(1,2]} 2\cdot\frac{1}{N}.
N termos no primeiro somatório e N no segundo, portanto
L(P_N,f)=N\cdot 1\cdot\frac{1}{N}+N\cdot 2\cdot\frac{1}{N}=1+2=3.
Observação: para todas essas partições P_N (com N inteiro), a soma inferior dá exatamente 3.

Passo 5

Calcular a soma superior U(P_N,f) para a mesma partição.
  • Nos subintervalos em [0,1] a função é constante 1, então M_i=1 ali.
  • Nos subintervalos em (1,2] a função é constante 2, então M_i=2 ali.
  • Como nenhum subintervalo contém pontos de valores diferentes (porque x=1 é nó da partição), temos exatamente os mesmos termos que no cálculo anterior, logo
U(P_N,f)=N\cdot 1\cdot\frac{1}{N}+N\cdot 2\cdot\frac{1}{N}=3.
Portanto, para cada partição P_N escolhida temos L(P_N,f)=U(P_N,f)=3.

Passo 6

Conclusão sobre integrabilidade e valor da integral.
  • Como existe uma sequência de partições P_N cuja malha tende a zero quando N\to\infty e para todas essas partições L(P_N,f)=U(P_N,f)=3, segue que
\lim_{N\to\infty} L(P_N,f)=\lim_{N\to\infty} U(P_N,f)=3.
  • Pelo critério de Riemann isso implica que f é integrável em [0,2] e o valor da integral é 3.
Intuição final: apesar do salto em x=1, isso não impede integrabilidade porque é somente um ponto isolado; ao escolher partições que separam bem esse ponto, a contribuição do salto desaparece nas somas (a soma inferior e superior coincidem) e o integral é simplesmente a soma das áreas retangulares 1\cdot 1 no trecho [0,1] mais 2\cdot 1 no trecho (1,2], dando 1+2=3.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)\,dx=3

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