1. Seja S=\{3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}. Suponha que seis inteiros sejam escolhidos de S. Existem dois inteiros cuja soma é 15 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S = \{3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}
e pede que, ao escolhermos seis elementos de S, mostremos que sempre existem dois cuja soma é 15. O conteúdo que vamos usar é o Princípio da Casa dos Pombos, aplicando-o a pares de números que somam 15.

Passo 2

Observe que podemos particionar S em cinco pares disjuntos, cada um somando 15:
(3,12),\;(4,11),\;(5,10),\;(6,9),\;(7,8).
Esses pares cobrem todo S e em cada um a soma dos dois elementos é 15.

Passo 3

Para não obtermos soma 15 ao escolher elementos de S, devemos escolher no máximo um elemento de cada par acima. Como há cinco pares, o máximo de elementos que podemos escolher sem forçar uma soma 15 é 5.

Passo 4

Mas o enunciado exige que seis inteiros sejam escolhidos. Ao escolher seis de S, pelo Princípio da Casa dos Pombos (tendo 6 “pombos” e 5 “casas”-pares), dois dos escolhidos ficam forçosamente no mesmo par. Esses dois somam 15.

Resposta

Sim.

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