- Seja
. Suponha que seis inteiros sejam escolhidos de S. Existem dois inteiros cuja soma é 15 ? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede que, ao escolhermos seis elementos de
, mostremos que sempre existem dois cuja soma é 15. O conteúdo que vamos usar é o Princípio da Casa dos Pombos, aplicando-o a pares de números que somam 15.
Passo 2
Observe que podemos particionar
em cinco pares disjuntos, cada um somando 15:
Esses pares cobrem todo
e em cada um a soma dos dois elementos é 15.
Passo 3
Para não obtermos soma 15 ao escolher elementos de
, devemos escolher no máximo um elemento de cada par acima. Como há cinco pares, o máximo de elementos que podemos escolher sem forçar uma soma 15 é 5.
Passo 4
Mas o enunciado exige que seis inteiros sejam escolhidos. Ao escolher seis de
, pelo Princípio da Casa dos Pombos (tendo 6 “pombos” e 5 “casas”-pares), dois dos escolhidos ficam forçosamente no mesmo par. Esses dois somam 15.
Resposta
Sim.