1. Seja f(x)=a x^3+b x^2+c x+d in R[x] com f(k)=0 para k=0, ldots, 5. Determine f(6).
  2. Discuta o grau de f(x)=(2 a^2+a-3) x^3+(a^2-1) x^2+(a+1) x+3 para diferentes a in R.

Passo 1

O enunciado 32 fornece um polinômio cúbico
f(x)=a x^3+b x^2+c x+d
com valores nulos em seis pontos distintos, pois f(k)=0 para k=0,1,2,3,4,5. O que precisamos é determinar f(6).

Passo 2

Um polinômio de grau at most 3 só pode ter no máximo 3 raízes distintas se não for o polinômio zero. Aqui temos 6 raízes distintas, logo f deve ser o polinômio identicamente zero.

Passo 3

Se f é o polinômio zero, então vale para todo x que f(x)=0, em particular
f(6)=0

Passo 4

O enunciado 33 dá o polinômio
f(x)=l(2a^2+a-3r)x^3+l(a^2-1r)x^2+(a+1)x+3
e pede discussão do grau de f conforme o parâmetro ainR.

Passo 5

O grau de f é determinado pelo coeficiente líder 2a^2+a-3. Para que o grau caia abaixo de 3, devemos ter
2a^2+a-3=0
Resolvendo:
a=-1pmraiz1+244=-1pm54,
ou seja a=1 ou a=-tfrac32.

Passo 6

Para aneq1 e aneq -tfrac32, o coeficiente líder é não nulo, logo
deg f=3

Passo 7

Se a=1, então
2a^2+a-3=0 e a^2-1=0,
de modo que os termos em x^3 e x^2 desaparecem e sobra
f(x)=2x+3,
cujo grau é 1.

Passo 8

Se a=-tfrac32, então
2a^2+a-3=0 e a^2-1=54neq0,
logo o termo em x^2 permanece e
f(x)=tfrac54x^2-tfrac12x+3,
cujo grau é 2.

Resposta

deg f=3 para aneq1,-tfrac32;
deg f=2 para a=-tfrac32;
deg f=1 para a=1.

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