Seja
. Dizer quais das proposições abaixo são verdadeiras:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
. A pergunta (d) é decidir se a proposição
é verdadeira ou falsa. Informações relevantes fornecidas:
-
tem exatamente dois elementos: o elemento e o elemento . - A proposição a avaliar é
.
Passo 2
Definição (explicada com calma): dizer que um conjunto
é subconjunto de outro conjunto
, escrito
, significa que todo elemento de
também é elemento de
. Em símbolos:
Isso não fala nada sobre
ser ou não elemento de
— é uma propriedade sobre os elementos de
.
Passo 3
Identificar os elementos do conjunto
: por construção, o conjunto
tem exatamente um elemento, que é
. Em forma curta:
Passo 4
Identificar os elementos de
(peguei isso do enunciado): pelo enunciado
, então
Ou seja, tanto o objeto
quanto o conjunto
aparecem como elementos de
.
Passo 5
Verificar a condição de subconjunto
: pela definição em
é verdadeira porque o único
possível é
e
.
Passo 6
Conclusão lógica do raciocínio: como todo elemento de
(apenas
) está em
, segue que
é verdadeira.
Passo 7
Comentário didático extra (para evitar confusão comum): aqui ocorrem duas coisas simultâneas e distintas que costumam confundir:
-
é verdadeiro (o conjunto é um elemento de ). -
também é verdadeiro (todos os elementos do conjunto — isto é, — estão em ).
É perfeitamente possível que um mesmo objeto seja simultaneamente elemento de um conjunto e subconjunto desse conjunto; são relações diferentes (pertencer versus conter).
Passo 8
Observação sobre igualdade/propriedade:
porque
tem dois elementos (
e
) enquanto
tem apenas um. Portanto
é de fato um subconjunto próprio de
. Assim, se
for interpretado como “subconjunto próprio”, a proposição continua verdadeira.
Resposta
Verdadeira.