Seja E=\{a,\{a\}\}. Dizer quais das proposições abaixo são verdadeiras:
(d) \{a\} \subset E

Passo 1

O enunciado dá o conjunto E=\{a,\{a\}\}. A pergunta (d) é decidir se a proposição \{a\}\subset E é verdadeira ou falsa. Informações relevantes fornecidas:
  • E tem exatamente dois elementos: o elemento a e o elemento \{a\}.
  • A proposição a avaliar é \{a\}\subset E.

Passo 2

Definição (explicada com calma): dizer que um conjunto X é subconjunto de outro conjunto Y, escrito \,X\subset Y, significa que todo elemento de X também é elemento de Y. Em símbolos:
X\subset Y \quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\,(x\in X \Rightarrow x\in Y).
Isso não fala nada sobre X ser ou não elemento de Y — é uma propriedade sobre os elementos de X.

Passo 3

Identificar os elementos do conjunto \{a\}: por construção, o conjunto \{a\} tem exatamente um elemento, que é a. Em forma curta:
\text{o conjunto } \{a\} \text{ tem elemento } a,\quad\text{isto é } a\in\{a\}.é

Passo 4

Identificar os elementos de E (peguei isso do enunciado): pelo enunciado E=\{a,\{a\}\}, então
a\in E \qquad\text{e}\qquad \{a\}\in E.
Ou seja, tanto o objeto a quanto o conjunto \{a\} aparecem como elementos de E.

Passo 5

Verificar a condição de subconjunto \{a\}\subset E: pela definição em
\forall x\,(x\in\{a\}\Rightarrow x\in E)
é verdadeira porque o único x possível é a e a\in E.

Passo 6

Conclusão lógica do raciocínio: como todo elemento de \{a\} (apenas a) está em E, segue que \{a\}\subset E é verdadeira.

Passo 7

Comentário didático extra (para evitar confusão comum): aqui ocorrem duas coisas simultâneas e distintas que costumam confundir:
  • \{a\}\in E é verdadeiro (o conjunto \{a\} é um elemento de E).
  • \{a\}\subset E também é verdadeiro (todos os elementos do conjunto \{a\} — isto é, a — estão em E).
    É perfeitamente possível que um mesmo objeto seja simultaneamente elemento de um conjunto e subconjunto desse conjunto; são relações diferentes (pertencer versus conter).

Passo 8

Observação sobre igualdade/propriedade: \{a\}\neq E porque E tem dois elementos ( a e \{a\}) enquanto \{a\} tem apenas um. Portanto \{a\} é de fato um subconjunto próprio de E. Assim, se \subset for interpretado como “subconjunto próprio”, a proposição continua verdadeira.

Resposta

Verdadeira.

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