Seja
. Dizer quais das proposições abaixo são verdadeiras:
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para decidir se a proposição (f) é verdadeira:
- Dado:
. - Pergunta: a proposição
é verdadeira?
Informações relevantes que temos do enunciado:
- Os elementos de
são exatamente e . Ou seja, os únicos objetos que pertencem a são e . - A proposição a testar envolve o conjunto vazio
e a relação de inclusão .
Passo 2
Definição de subconjunto (explicação didática): dizer que um conjunto
é subconjunto de um conjunto
significa que "todo elemento de
também é elemento de
". Formalmente:
Aqui a variável
percorre todos os objetos possíveis; a afirmação é uma condição universal ("para todo
"). É importante entender a implicação lógica
: ela é verdadeira sempre que, sempre que
estiver em
, então também esteja em
.
Passo 3
Aplicando a definição ao caso
e
: precisamos verificar
Mas o conjunto
não tem elementos. Em lógica, uma implicação do tipo "se
então
" é considerada verdadeira sempre que
é falsa. Como a propriedade “
” é sempre falsa (não existe
tal que
), toda implicação
é verdadeira para cada
. Portanto a afirmação universal acima é verdadeira. Esse fenômeno chama-se verdade vacuamente verdadeira: uma afirmação “todo elemento de um conjunto vazio tem propriedade X” é sempre verdadeira porque não há nenhum elemento que contrarie a propriedade.
Um exemplo rápido e tranquilo: a frase “todos os unicórnios do meu bolso usam chapéu” é verdadeira vacuamente, pois não existem unicórnios no meu bolso para contradizer a frase.
Passo 4
Conclusão direta: pela definição,
é verdadeira, porque não existe elemento em
que viole a condição de pertencer a
.
Observação adicional (didática, para não confundir): ser subconjunto não é o mesmo que ser elemento. Aqui
é subconjunto de
, mas não é elemento de
. De fato, os elementos de
são
e
, e nenhum desses é o conjunto vazio
; logo
. Além disso, como
não é vazio, tem-se que
é um subconjunto próprio de
(isto é,
).
Resposta
Verdadeira.