Seja E=\{a,\{a\}\}. Dizer quais das proposições abaixo são verdadeiras:
(f) \varnothing \subset E

Passo 1

O enunciado dá o conjunto E e pede para decidir se a proposição (f) é verdadeira:
  • Dado: E=\{a,\{a\}\}.
  • Pergunta: a proposição \varnothing \subset E é verdadeira?
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • Os elementos de E são exatamente a e \{a\}. Ou seja, os únicos objetos que pertencem a E são a e \{a\}.
  • A proposição a testar envolve o conjunto vazio \varnothing e a relação de inclusão \subset.

Passo 2

Definição de subconjunto (explicação didática): dizer que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B significa que "todo elemento de A também é elemento de B". Formalmente:
A\subset B \quad\text{se, e somente se,}\quad \forall x\,(x\in A \Rightarrow x\in B).
Aqui a variável x percorre todos os objetos possíveis; a afirmação é uma condição universal ("para todo x"). É importante entender a implicação lógica x\in A \Rightarrow x\in B: ela é verdadeira sempre que, sempre que x estiver em A, então também esteja em B.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso A=\varnothing e B=E: precisamos verificar
\forall x\,(x\in \varnothing \Rightarrow x\in E).
Mas o conjunto \varnothing não tem elementos. Em lógica, uma implicação do tipo "se P então Q" é considerada verdadeira sempre que P é falsa. Como a propriedade “ x\in\varnothing” é sempre falsa (não existe x tal que x\in\varnothing), toda implicação x\in\varnothing \Rightarrow x\in E é verdadeira para cada x. Portanto a afirmação universal acima é verdadeira. Esse fenômeno chama-se verdade vacuamente verdadeira: uma afirmação “todo elemento de um conjunto vazio tem propriedade X” é sempre verdadeira porque não há nenhum elemento que contrarie a propriedade.
Um exemplo rápido e tranquilo: a frase “todos os unicórnios do meu bolso usam chapéu” é verdadeira vacuamente, pois não existem unicórnios no meu bolso para contradizer a frase.

Passo 4

Conclusão direta: pela definição, \varnothing\subset E é verdadeira, porque não existe elemento em \varnothing que viole a condição de pertencer a E.
Observação adicional (didática, para não confundir): ser subconjunto não é o mesmo que ser elemento. Aqui \varnothing é subconjunto de E, mas não é elemento de E. De fato, os elementos de E são a e \{a\}, e nenhum desses é o conjunto vazio \varnothing; logo \varnothing\notin E. Além disso, como E não é vazio, tem-se que \varnothing é um subconjunto próprio de E (isto é, \varnothing\subsetneq E).

Resposta

Verdadeira.

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