Seja
Verifique que é possível aplicar o método de Jacobi para um sistema linear com essa matriz de coeficientes. Para
, partindo de
. Qual a solução desse sistema? Qual o real custo de cada iteração do método de Jacobi neste caso?
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
com
tudo mais zero, e o vetor
. Pede-se (i) verificar que o método de Jacobi converge, (ii) encontrar a expressão geral de
partindo de
, (iii) achar a solução exata e (iv) estimar o custo de cada iteração. Vamos usar critérios de dominância diagonal, escrever a iteração de Jacobi e resolver a recorrência que surge.
Passo 2
Para aplicar Jacobi basta que
logo (|a_{ii}|=4>2=\sum_{j\neq i}|a_{ij}|]. Assim o método de Jacobi converge.
Passo 3
A fórmula do método de Jacobi é
Como
e só aparecem vizinhos cíclicos, fica
com índice cíclico
e
.
Passo 4
Note que
é constante. Supondo por indução que
, então
Logo
com
. Defina
; então
com
. Assim
e
Portanto
Passo 5
Para ver a solução exata, tente
. Substituindo em
dá
Como
é invertível, essa é a única solução:
Passo 6
Em cada iteração, para cada componente
calcula-se
(
soma), soma-se
(outra soma) e faz-se uma divisão por
(ou multiplicação por
). São cerca de
adições
multiplicação por componente, total
operações por iteração.
Resposta
Jacobi converge pois
é estritamente diagonalmente dominante.
a solução exata é
e cada iteração custa
operações (aprox.\
flops).