Seja A\) uma matriz de \(n \times n\), tal que \[a_{i, j}= \begin{cases}1, & \text { se }|i-j|=1 \\\\ 1, & \text { se }(i, j)=(1, n) \text { ou }(i, j)=(n, 1) \\\\ -4, & \text { se } i=j \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}
Verifique que é possível aplicar o método de Jacobi para um sistema linear com essa matriz de coeficientes. Para \mathbf{b}=(-2,-2, \ldots,-2)^{T}\], encontre a expressão geral para os iterandos produzidos pelo método de Jacobi para o sistema linear \(A \mathbf{x}=\mathbf{b}, partindo de \mathbf{x}^{(0)}=\mathbf{b}. Qual a solução desse sistema? Qual o real custo de cada iteração do método de Jacobi neste caso?

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A\in\mathbb{R}^{n\times n} com
a_{ii}=-4,\quad a_{i,i+1}=a_{i+1,i}=1\\ (1\le i<n),\quad a_{1,n}=a_{n,1}=1,
tudo mais zero, e o vetor \mathbf b=(-2,\dots,-2)^T. Pede-se (i) verificar que o método de Jacobi converge, (ii) encontrar a expressão geral de \mathbf x^{(k)} partindo de \mathbf x^{(0)}=\mathbf b, (iii) achar a solução exata e (iv) estimar o custo de cada iteração. Vamos usar critérios de dominância diagonal, escrever a iteração de Jacobi e resolver a recorrência que surge.

Passo 2

Para aplicar Jacobi basta que A\) seja (estritamente) diagonalmente dominante por linhas, pois isso garante convergência. Aqui, em qualquer linha \(i\), \[|a_{ii}|=4,\qquad \sum_{j\neq i}|a_{ij}| \;=\;\begin{cases}2,&i=1\text{ ou }n,\\\ 2,&1<i<n,\end{cases}
logo (|a_{ii}|=4>2=\sum_{j\neq i}|a_{ij}|]. Assim o método de Jacobi converge.

Passo 3

A fórmula do método de Jacobi é
x_i^{(k+1)} \;=\;\frac{b_i-\sum_{j\neq i}a_{ij}\,x_j^{(k)}}{a_{ii}}.
Como b_i=-2 e só aparecem vizinhos cíclicos, fica
x_i^{(k+1)} =\frac{-2-\bigl(x_{i-1}^{(k)}+x_{i+1}^{(k)}\bigr)}{-4} =\frac{2 + x_{i-1}^{(k)} + x_{i+1}^{(k)}}{4},
com índice cíclico x_0=x_n e x_{n+1}=x_1.

Passo 4

Note que \mathbf x^{(0)}=(-2,-2,\dots,-2) é constante. Supondo por indução que \mathbf x^{(k)}=(c_k,c_k,\dots,c_k), então
x_i^{(k+1)} =\frac{2 + c_k + c_k}{4} =\frac{2+2c_k}{4} =\frac{1+c_k}{2}.
Logo c_{k+1}=(1+c_k)/2 com c_0=-2. Defina d_k=c_k-1; então
d_{k+1} =\frac{1+c_k}{2}-1 =\frac{c_k-1}{2} =\frac{d_k}{2},
com d_0=-3. Assim d_k=-3/2^k e
c_k = 1 + d_k = 1 - \frac{3}{2^k}.
Portanto
\mathbf x^{(k)} = \Bigl(1-\tfrac{3}{2^k}\Bigr)\,(1,1,\dots,1)^T.

Passo 5

Para ver a solução exata, tente \mathbf x=(\xi,\dots,\xi). Substituindo em A\mathbf x=\mathbf b
-4\xi + \xi + \xi = -2 \quad\Longrightarrow\quad -2\xi=-2 \quad\Longrightarrow\quad \xi=1.
Como A é invertível, essa é a única solução:
\mathbf x = (1,1,\dots,1)^T.

Passo 6

Em cada iteração, para cada componente i calcula-se x_{i-1}^{(k)}+x_{i+1}^{(k)} ( 1 soma), soma-se 2 (outra soma) e faz-se uma divisão por 4 (ou multiplicação por \tfrac14). São cerca de 2 adições +1 multiplicação por componente, total \mathcal O(n) operações por iteração.

Resposta

Jacobi converge pois A é estritamente diagonalmente dominante.
\mathbf{x}^{(k)} = \Bigl(1-\tfrac{3}{2^k}\Bigr)\,(1,1,\dots,1)^T,
a solução exata é \mathbf{x}=(1,1,\dots,1)^T e cada iteração custa \mathcal{O}(n) operações (aprox.\ 3n flops).

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