Considere os sistemas lineares:
Sistema 1: \left(\begin{array}{ccc}4 & 6 & -4 \\\\ 6 & 18 & -3 \\\\ -4 & -3 & 21\end{array}\right) \mathbf{x}= Sistema 2: \left(\begin{array}{ccc}5 & -2 & 3 \\\\ 0 & 3 & 1 \\\\ 1 & 1 & 4\end{array}\right) \mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}9 \\\\ -4 \\\\ -3\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}35 \\\\ 60 \\\\ -75\end{array}\right)
Para cada sistema linear, responda:
(a) É possível garantir a convergência do método de Jacobi para esse sistema?
(b) Realize três iterações do método de Jacobi, a partir de \mathbf{x}^{(0)}=(1,0,0)^{T}. Calcule o resíduo em cada iteração.
(c) Realize três iterações do método de Gauss-Seidel, a partir de \mathbf{x}^{(0)}=(1,0,0)^{T}. Calcule o resíduo em cada iteração.
(d) O que você observou? Qual poderia ser uma explicação plausível para o comportamento observado?

Passo 1

O enunciado pede, para cada um dos dois sistemas lineares
A_1\mathbf{x}=\mathbf{b}_1,\quad A_2\mathbf{x}=\mathbf{b}_2,
(a) verificar se o método de Jacobi é garantido convergir,
(b) efetuar três iterações de Jacobi a partir de \mathbf{x}^{(0)}=(1,0,0)^T e calcular o resíduo \mathbf{r}^{(k)}=\mathbf{b}-A\mathbf{x}^{(k)},
(c) repetir com Gauss–Seidel e mesmos resíduos,
(d) discutir o comportamento observado.
Os métodos iterativos convergem se o raio espectral da matriz de iteração \rho<1. Critérios práticos: matriz estritamente diagonalmente dominante por linhas ou simétrica positiva definida (SPD) garantem convergência.

Passo 2

Sistema 1:
A_1=\begin{pmatrix}4&6&-4\\\ 6&18&-3\\\ -4&-3&21\end{pmatrix},\quad \mathbf{b}_1=\begin{pmatrix}35\\\ 60\\\ -75\end{pmatrix}.
Verificamos que A_1 é simétrica e todos os menores principais são positivos, logo A_1 é SPD. Portanto tanto Jacobi como Gauss–Seidel convergem.

Passo 3

Efetuamos três iterações de Jacobi para o sistema 1. A fórmula genérica é
x_i^{(k+1)} =\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j\neq i}a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr).
Começando em \mathbf{x}^{(0)}=(1,0,0)^T:
\displaystyle x_1^{(k+1)}=\frac{35-6x_2^{(k)}+4x_3^{(k)}}{4},\; x_2^{(k+1)}=\frac{60-6x_1^{(k)}+3x_3^{(k)}}{18},\; x_3^{(k+1)}=\frac{-75+4x_1^{(k)}+3x_2^{(k)}}{21}.
Iterações Jacobi:
\displaystyle\mathbf{x}^{(1)}=\bigl[8{,}75,\;3,\;-3{,}38095\bigr]^T, \displaystyle\mathbf{r}^{(1)}=\mathbf{b}_1-A_1\mathbf{x}^{(1)} =\bigl[-31{,}5238,\;-56{,}6429,\;40\bigr]^T; \displaystyle\mathbf{x}^{(2)}=\bigl[0{,}86905,\;-0{,}14683,\;-1{,}47619\bigr]^T, \displaystyle\mathbf{r}^{(2)}=\bigl[26{,}5,\;53,\;-40{,}9643\bigr]^T; \displaystyle\mathbf{x}^{(3)}=\bigl[7{,}49405,\;2{,}79762,\;-3{,}42687\bigr]^T, \displaystyle\mathbf{r}^{(3)}=\bigl[-25{,}4694,\;-45{,}6021,\;35{,}2924\bigr]^T.

Passo 4

Agora três iterações de Gauss–Seidel para o sistema 1. As fórmulas usam valores já atualizados:
\displaystyle x_1^{(k+1)}=\frac{35-6x_2^{(k)}+4x_3^{(k)}}{4},\; x_2^{(k+1)}=\frac{60-6x_1^{(k+1)}+3x_3^{(k)}}{18},\; x_3^{(k+1)}=\frac{-75+4x_1^{(k+1)}+3x_2^{(k+1)}}{21}.
Iterações GS:
\displaystyle\mathbf{x}^{(1)}=\bigl[8{,}75,\;0{,}41667,\;-1{,}84524\bigr]^T, \displaystyle\mathbf{r}^{(1)}=\bigl[-9{,}88095,\;-5{,}53571,\;0\bigr]^T; \displaystyle\mathbf{x}^{(2)}=\bigl[6{,}27976,\;0{,}93254,\;-2{,}24112\bigr]^T, \displaystyle\mathbf{r}^{(2)}\approx\bigl[-4{,}6787,\;-1{,}1876,\;-0{,}02\bigr]^T; \displaystyle\mathbf{x}^{(3)}=\bigl[5{,}11007,\;1{,}25646,\;-2{,}41811\bigr]^T, \displaystyle\mathbf{r}^{(3)}\approx\bigl[-2{,}6515,\;-0{,}5310,\;-0{,}01\bigr]^T.

Passo 5

Observação para o sistema 1: Jacobi oscila e não se aproxima do exato, pois o raio espectral do seu operador iterativo é maior que 1 apesar de SPD; Gauss–Seidel converge rapidamente (resíduos decrescem), pois para matrizes SPD GS sempre converge com \rho<1.

Passo 6

Sistema 2:
A_2=\begin{pmatrix}5&-2&3\\\ 0&3&1\\\ 1&1&4\end{pmatrix},\quad \mathbf{b}_2=\begin{pmatrix}9\\\ -4\\\ -3\end{pmatrix}.
Row 1 tem \lvert5\rvert=2+3 (dominância diagonal fraca), não é SPD. Logo não há garantia de convergência do método de Jacobi; GS pode convergir, mas sem garantia teórica absoluta.

Passo 7

Três iterações de Jacobi para o sistema 2 com \mathbf{x}^{(0)}=(1,0,0)^T:
\displaystyle x_1^{(k+1)}=\frac{9+2x_2^{(k)}-3x_3^{(k)}}{5},\; x_2^{(k+1)}=\frac{-4 -x_3^{(k)}}{3},\; x_3^{(k+1)}=\frac{-3 -x_1^{(k)} -x_2^{(k)}}{4}.
Iterações Jacobi:
\displaystyle\mathbf{x}^{(1)}=\bigl[1{,}8,\;-1{,}3333,\;-1\bigr]^T, \displaystyle\mathbf{r}^{(1)}\approx\bigl[0{,}3333,\;1,\;0{,}5333\bigr]^T; \displaystyle\mathbf{x}^{(2)}=\bigl[1{,}8667,\;-1,\;-0{,}8667\bigr]^T, \displaystyle\mathbf{r}^{(2)}\approx\bigl[0{,}2667,\;-0{,}1333,\;-0{,}4\bigr]^T; \displaystyle\mathbf{x}^{(3)}=\bigl[1{,}92,\;-1{,}04444,\;-0{,}96667\bigr]^T, \displaystyle\mathbf{r}^{(3)}\approx\bigl[0{,}2111,\;0{,}1,\;-0{,}0089\bigr]^T.

Passo 8

Três iterações de Gauss–Seidel para o sistema 2:
\displaystyle x_1^{(k+1)}=\frac{9+2x_2^{(k)}-3x_3^{(k)}}{5},\; x_2^{(k+1)}=\frac{-4 -x_3^{(k)}}{3},\; x_3^{(k+1)}=\frac{-3 -x_1^{(k+1)} -x_2^{(k+1)}}{4}.
Iterações GS:
\displaystyle\mathbf{x}^{(1)}=\bigl[1{,}8,\;-1{,}3333,\;-0{,}86667\bigr]^T, \displaystyle\mathbf{r}^{(1)}\approx\bigl[-0{,}0667,\;0{,}8667,\;0\bigr]^T; \displaystyle\mathbf{x}^{(2)}=\bigl[1{,}78667,\;-1{,}04444,\;-0{,}93556\bigr]^T, \displaystyle\mathbf{r}^{(2)}\approx\bigl[0{,}7844,\;0{,}0689,\;0\bigr]^T; \displaystyle\mathbf{x}^{(3)}=\bigl[1{,}94356,\;-1{,}02148,\;-0{,}98052\bigr]^T, \displaystyle\mathbf{r}^{(3)}\approx\bigl[0{,}1808,\;0{,}0450,\;0\bigr]^T.

Passo 9

Observação para o sistema 2: Jacobi converge lentamente (resíduos decrescem devagar) e GS converge mais rápido do que Jacobi (resíduos menores a cada iteração), mas como não há dominância diagonal estrita nem SPD, não tínhamos garantia formal de convergência de Jacobi. A diferença de velocidades está ligada ao raio espectral dos operadores iterativos: menor em GS.

Resposta

Sistema 1
(a) Sim, A_1 é SPD, logo Jacobi e GS convergem.
(b) Jacobi:
\mathbf{x}^{(1)}=[8{,}75,3,-3{,}38095]^T,\;\mathbf{r}^{(1)}=[-31{,}5238,-56{,}6429,40]^T; \mathbf{x}^{(2)}=[0{,}86905,-0{,}14683,-1{,}47619]^T,\;\mathbf{r}^{(2)}=[26{,}5,53,-40{,}9643]^T; \mathbf{x}^{(3)}=[7{,}49405,2{,}79762,-3{,}42687]^T,\;\mathbf{r}^{(3)}=[-25{,}4694,-45{,}6021,35{,}2924]^T.
(c) Gauss–Seidel:
\mathbf{x}^{(1)}=[8{,}75,0{,}41667,-1{,}84524]^T,\;\mathbf{r}^{(1)}=[-9{,}88095,-5{,}53571,0]^T; \mathbf{x}^{(2)}=[6{,}27976,0{,}93254,-2{,}24112]^T,\;\mathbf{r}^{(2)}\approx[-4{,}6787,-1{,}1876,-0{,}02]^T; \mathbf{x}^{(3)}=[5{,}11007,1{,}25646,-2{,}41811]^T,\;\mathbf{r}^{(3)}\approx[-2{,}6515,-0{,}5310,-0{,}01]^T.
(d) Jacobi diverge oscilações ( \rho>1); GS converge rápido (SPD \Rightarrow \rho<1).
Sistema 2
(a) Não há garantia de convergência de Jacobi (dominância fraca em \!A_2, não SPD).
(b) Jacobi:
\mathbf{x}^{(1)}=[1{,}8,-1{,}3333,-1]^T,\;\mathbf{r}^{(1)}\approx[0{,}3333,1,0{,}5333]^T; \mathbf{x}^{(2)}=[1{,}8667,-1,-0{,}8667]^T,\;\mathbf{r}^{(2)}\approx[0{,}2667,-0{,}1333,-0{,}4]^T; \mathbf{x}^{(3)}=[1{,}92,-1{,}04444,-0{,}96667]^T,\;\mathbf{r}^{(3)}\approx[0{,}2111,0{,}1,-0{,}0089]^T.
(c) Gauss–Seidel:
\mathbf{x}^{(1)}=[1{,}8,-1{,}3333,-0{,}86667]^T,\;\mathbf{r}^{(1)}\approx[-0{,}0667,0{,}8667,0]^T; \mathbf{x}^{(2)}=[1{,}78667,-1{,}04444,-0{,}93556]^T,\;\mathbf{r}^{(2)}\approx[0{,}7844,0{,}0689,0]^T; \mathbf{x}^{(3)}=[1{,}94356,-1{,}02148,-0{,}98052]^T,\;\mathbf{r}^{(3)}\approx[0{,}1808,0{,}0450,0]^T.
(d) Jacobi converge muito lentamente; GS é mais rápido. Isso reflete diferenças no raio espectral dos operadores: GS geralmente possui \rho menor que Jacobi.

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