Seja 
 . Mostre que se 
  é um isomorfismo de anćis, então 
  ou 
 
Passo 1
Então, temos o conjunto 
 . O exercício pede para mostrar que, se 
  é um isomorfismo de anéis, então 
  ou 
 . Vamos precisar entender o que é um isomorfismo de anéis e como ele age sobre os elementos de 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo de anéis. Um isomorfismo de anéis é uma função que é bijetiva (ou seja, tem inversa) e preserva as operações de adição e multiplicação. Isso significa que para quaisquer 
 :
Além disso, 
  deve mapear o elemento neutro da adição e multiplicação de 
  para si mesmo.
Passo 3
Como 
  é definido como 
 , qualquer elemento de 
  pode ser escrito como 
  com 
 . Para descobrir como 
  age sobre 
 , vamos considerar o que acontece quando aplicamos 
  a 
 .
Passo 4
Sabemos que 
  deve preservar a estrutura de 
 . Então, aplicando 
  a 
 , temos:
onde 
 . Nosso objetivo é determinar os valores possíveis de 
  e 
 .
Passo 5
Vamos usar o fato de que 
  satisfaz a equação 
 . Aplicando 
  em ambos os lados, temos:
Por outro lado, usando a propriedade do isomorfismo:
Assim, temos:
Para que essa igualdade seja válida em 
 , os coeficientes de 
  e 
  devem ser iguais dos dois lados da equação.
Passo 6
Igualando os coeficientes, temos:
Da segunda equação, 
 , vemos que ou 
  ou 
 .
Passo 7
Se 
 , então da primeira equação:
Então, 
 .
Se 
 , da primeira equação:
Mas não existe 
  tal que 
 , porque 
  é irracional. Portanto, essa possibilidade não é válida.
Resposta
Portanto, 
  ou 
 .