Considere os vetores 
 , e 
  em 
 . Seja 
  o plano dado por 
 .
(b) Encontre a interseção 
  e mostre que é um subespaço de 
 .
(b) Encontre a interseção
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores no espaço de cinco dimensões, 
 , e um plano 
  definido por uma equação linear. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a interseção entre o plano 
  e o espaço gerado pelos vetores 
  e 
 . Além disso, vamos mostrar que essa interseção é um subespaço de 
 . Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear, sistema de equações e propriedades de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a interseção 
 . Isso quer dizer que queremos encontrar todos os vetores que estão tanto no plano 
  quanto no espaço gerado pelas combinações lineares de 
  e 
 . Ou seja, buscamos vetores que podem ser escritos como 
  e que também satisfazem a equação do plano 
 .
Passo 3
Vamos expressar um vetor genérico no span de 
  e 
 . Seja 
 , onde 
  e 
  são escalares reais. Calculando, temos:
Então, 
  onde:
Passo 4
Agora, para que 
  esteja também no plano 
 , ela deve satisfazer a equação 
 . Vamos substituir os valores de 
 , 
  e 
  que encontramos:
Simplificando:
Isso simplifica para:
Passo 5
Com 
 , podemos encontrar 
 . Voltando às expressões de 
  e 
 :
E os outros componentes:
Então, os vetores na interseção são da forma 
 , onde 
  é um número real.
Passo 6
Podemos escrever isso de forma mais elegante usando 
  como parâmetro:
Isso mostra que a interseção 
  é exatamente o conjunto de todas as combinações escalares de 
 .
Passo 7
Para mostrar que esse conjunto é um subespaço de 
 , precisamos verificar três coisas:
- Contém o vetor zero: Se 
, então , que está no conjunto.  - É fechado sob adição: Se 
e , então , que também está no conjunto.  - É fechado sob multiplicação por escalar: Se 
e é um escalar, então , que está no conjunto.  
Como todas essas propriedades são satisfeitas, concluímos que a interseção é realmente um subespaço de 
 .
Resposta
A interseção 
  é o conjunto de todos os vetores do tipo 
 , onde 
  é um número real. Além disso, esse conjunto é um subespaço de 
 .