Seja ABC um triângulo acutângulo e D , E e F os pés das alturas traçadas desde os vértices até os lados opostos. Sabendo que os lados do triângulo DEF medem 3, 4 e 5, qual é a área do triângulo ABC ?
a) \frac{102}{5}
b) 24
c) \frac{80}{3}
d) 30
e) 36

Passo 1

O enunciado diz que em um triângulo acutângulo ABC os pontos D,E,F são os pés das alturas, e que o triângulo ortic (ou orto) DEF tem lados medindo 3,4,5. O conteúdo envolve a relação entre os lados do triângulo original, seus ângulos e o raio R de sua circunferência circunscrita. Vamos usar:
– Em qualquer triângulo, a=2R\sin A.
– Os lados do ortic são
EF = a\cos A,\quad FD = b\cos B,\quad DE = c\cos C.

Passo 2

Dos dados do ortic temos
a\cos A = 3,\quad b\cos B = 4,\quad c\cos C = 5.
Mas como a=2R\sin A,
a\cos A = 2R\sin A\cos A = R\sin(2A).
Logo
R\sin(2A)=3,\quad R\sin(2B)=4,\quad R\sin(2C)=5.

Passo 3

A área do triângulo ABC é
\Delta = \frac{abc}{4R} = \frac{(2R\sin A)(2R\sin B)(2R\sin C)}{4R} = 2R^2\sin A\sin B\sin C.
Também vale a identidade
\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C) =4\,\sin A\sin B\sin C.
Substituindo \sin(2A)=3/R etc., obtemos
\frac{3}{R}+\frac{4}{R}+\frac{5}{R} =4\,\sin A\sin B\sin C \quad\Longrightarrow\quad \sin A\sin B\sin C = \frac{3}{R}.
Logo
\Delta = 2R^2\cdot\frac{3}{R} = 6R.

Passo 4

Para achar R, note que \sin(2C)=5/R\le1 implica R\ge5. O caso limite R=5
\sin(2C)=1\;\Rightarrow\;2C=\frac{\pi}{2}\;\Rightarrow\;C=\frac{\pi}{4}
e
\sin(2A)=\frac{3}{5},\quad \sin(2B)=\frac{4}{5},
com 2A+2B+2C=2\pi. Esse conjunto de valores forma um triângulo agudo consistente, portanto R=5.

Passo 5

Substituindo em \Delta=6R, vem
\Delta = 6\cdot 5 = 30.

Resposta

30

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