Seja ABC um triângulo acutângulo e D , E e F os pés das alturas traçadas desde os vértices até os lados opostos. Sabendo que os lados do triângulo DEF medem 3, 4 e 5, qual é a área do triângulo ABC ?
a)
b) 24
c)
d) 30
e) 36
a)
b) 24
c)
d) 30
e) 36
Passo 1
O enunciado diz que em um triângulo acutângulo
os pontos
são os pés das alturas, e que o triângulo ortic (ou orto)
tem lados medindo
. O conteúdo envolve a relação entre os lados do triângulo original, seus ângulos e o raio
de sua circunferência circunscrita. Vamos usar:
– Em qualquer triângulo, .
– Os lados do ortic são
– Em qualquer triângulo,
– Os lados do ortic são
Passo 2
Dos dados do ortic temos
Mas como
,
Logo
Passo 3
A área do triângulo
é
Também vale a identidade
Substituindo
etc., obtemos
Logo
Passo 4
Para achar
, note que
implica
. O caso limite
dá
e
com
. Esse conjunto de valores forma um triângulo agudo consistente, portanto
.
Passo 5
Substituindo em
, vem
Resposta
30