Seja ABC um triângulo com mediana CD . O ponto E se encontra no lado BC de modo que \mathrm{BC}=3 \mathrm{EC} e \angle \mathrm{ABC}=20^{\circ}. AE intersecta CD em O e \angle \mathrm{DAO}=\angle \mathrm{ADO}. Encontre a medida de \angle \mathrm{ACB}.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC com mediana CD (logo D é o ponto médio de AB), e um ponto E em BC tal que
BC = 3\,EC\quad\Longrightarrow\quad EC = \tfrac13\,BC.
Temos \angle ABC=20^\circ. A reta AE intersecta CD em O, e nos é dito que
\angle DAO = \angle ADO,
o que, num triângulo ADO, implica que
AO = DO.
Queremos achar \angle ACB. Para isso, vamos colocar o triângulo em coordenadas de modo a expressar O, impor AO=DO e, ao final, calcular o ângulo em C.

Passo 2

Escolhemos
A=(0,0), \quad B=(1,0).
Como \angle ABC=20^\circ, o ponto C está numa semi-reta saindo de B que faz 20^\circ com a reta BA. Logo podemos escrever
C = B + t\bigl(-\cos20^\circ,\;\sin20^\circ\bigr) = \bigl(1 - t\cos20^\circ,\;t\sin20^\circ\bigr),
com t>0 desconhecido.

Passo 3

O ponto D, sendo o meio de AB, é
D=\bigl(\tfrac12,0\bigr).
O ponto E, estando em BC com EC = \tfrac13\,BC, é
E = C + \tfrac{1}{3}(B - C) = \Bigl(1-\tfrac{2t\cos20^\circ}{3},\,\tfrac{2t\sin20^\circ}{3}\Bigr).
Parametrizamos a reta AE por \lambda E, e a reta CD por
C + \mu\bigl(D-C\bigr).
Igualando as coordenadas, resolve-se que o parâmetro que leva de A a O é \lambda=\tfrac34. Assim
O = \tfrac34\,E = \Bigl(\tfrac{3-2t\cos20^\circ}{4},\,\tfrac{t\sin20^\circ}{2}\Bigr).

Passo 4

Agora impomos AO=DO. Calculando as distâncias ao quadrado:
AO^2 =\Bigl(\tfrac{3-2t\cos20^\circ}{4}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{t\sin20^\circ}{2}\Bigr)^2,
DO^2 =\Bigl(\tfrac{3-2t\cos20^\circ}{4}-\tfrac12\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{t\sin20^\circ}{2}\Bigr)^2 =\Bigl(\tfrac{1-2t\cos20^\circ}{4}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{t\sin20^\circ}{2}\Bigr)^2.
Igualando AO^2=DO^2 e simplificando, chega-se a
t\cos20^\circ = 1 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac1{\cos20^\circ}.

Passo 5

Com t=1/\cos20^\circ, as coordenadas de C ficam
C=\Bigl(1 - \tfrac1{\cos20^\circ}\cos20^\circ,\;\tfrac1{\cos20^\circ}\sin20^\circ\Bigr) =(0,\tan20^\circ).
Portanto AC é o segmento vertical de A=(0,0) até C=(0,\tan20^\circ), e B=(1,0).

Passo 6

Para calcular \angle ACB, usamos o cosseno do ângulo entre os vetores \overrightarrow{CA}=(0,-\tan20^\circ) e \overrightarrow{CB}=(1,-\tan20^\circ).
O produto escalar é
\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB} =0\cdot1 + \bigl(-\tan20^\circ\bigr)\bigl(-\tan20^\circ\bigr) =\tan^2 20^\circ,
e as normas são \|\overrightarrow{CA}\|=\tan20^\circ, \|\overrightarrow{CB}\|=1/\cos20^\circ.
Logo
\cos\bigl(\angle ACB\bigr) =\frac{\tan^2 20^\circ}{(\tan20^\circ)(1/\cos20^\circ)} =\sin20^\circ \quad\Longrightarrow\quad \angle ACB = 90^\circ -20^\circ = 70^\circ.

Resposta

\displaystyle 70^\circ

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