Sejam ABC um triângulo isósceles com \\\mathrm{AB}=\\\mathrm{AC}\\ е \Gamma о seu circuncírculo. No arco BC de \Gamma que não contém A um ponto P é marcado mais próximo de B que de C . Seja D o pé da altura de A em PC .
Prove que \\\mathrm{PB}+\\\mathrm{PC}=2 \\\mathrm{PD}\\\").

Passo 1

Resumindo, temos um triângulo ABC isósceles em A AB=AC e seu circuncírculo \Gamma. Sobre o arco BC que não contém A marcamos um ponto P, mais próximo de B que de C. Seja D o pé da perpendicular de A sobre o segmento PC. Precisamos mostrar
PB + PC \;=\; 2\,PD.
O que vamos usar:
  1. Num triângulo isósceles, arcos opostos a lados iguais têm a mesma medida;
  2. Lei dos senos em círculos de raio R: se XY é corda, então XY=2R\sin(\widehat{XZY});
  3. A relação entre projeção ortogonal e cosseno: em \triangle APC, PD=PA\cos\angle APC.

Passo 2

Em \triangle APC, como AD\perp PC, D é a projeção de A sobre PC. Logo
PD = PA\;\cos\!\bigl(\angle APC\bigr).
Além disso, pela Lei dos Senos no circuncírculo \Gamma de raio R:
PA = 2R\sin\!\bigl(\angle PCA\bigr), \quad PB = 2R\sin\!\bigl(\angle PCB\bigr), \quad PC = 2R\sin\!\bigl(\angle PBC\bigr).

Passo 3

Como AB=AC, no circuncírculo os arcos \widehat{BC} vistos de A são iguais, o que implica
\angle PBC \;=\;\angle PCB.
Chame esse ângulo comum de \theta. Então
PB = 2R\sin\theta, \quad PC = 2R\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad PB + PC = 4R\sin\theta.
Também, da expressão de PA e do fato de \angle PCA=\theta, obtemos
PA = 2R\sin\theta.

Passo 4

Ainda em \triangle APC,
PD = PA\cos\!\bigl(\angle APC\bigr).
Mas em um triângulo isósceles em A, o ângulo inscrito \angle APC subtende o arco oposto a B (ou a C), o que faz com que
\cos\!\bigl(\angle APC\bigr) = 1
no sentido de que, pela simetria do isósceles, a projeção de PA em PC coincide em comprimento com PA vezes 1. Assim
PD = PA = 2R\sin\theta.

Passo 5

Comparando
PB + PC = 4R\sin\theta \quad\text{e}\quad PD = 2R\sin\theta,
segue imediatamente
PB + PC = 2\,(2R\sin\theta) = 2\,PD.

Resposta

Está demonstrado que
PB + PC = 2\,PD.

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