Sejam ABC um triângulo isósceles com
е
о seu circuncírculo. No arco BC de
que não contém A um ponto P é marcado mais próximo de B que de C . Seja D o pé da altura de A em PC .
Prove que
Prove que
Passo 1
Resumindo, temos um triângulo
isósceles em
e seu circuncírculo
. Sobre o arco
que não contém
marcamos um ponto
, mais próximo de
que de
. Seja
o pé da perpendicular de
sobre o segmento
. Precisamos mostrar
O que vamos usar:
- Num triângulo isósceles, arcos opostos a lados iguais têm a mesma medida;
- Lei dos senos em círculos de raio
: se é corda, então ; - A relação entre projeção ortogonal e cosseno: em
, .
Passo 2
Em
, como
,
é a projeção de
sobre
. Logo
Além disso, pela Lei dos Senos no circuncírculo
de raio
:
Passo 3
Como
, no circuncírculo os arcos
vistos de
são iguais, o que implica
Chame esse ângulo comum de
. Então
Também, da expressão de
e do fato de
, obtemos
Passo 4
Ainda em
,
Mas em um triângulo isósceles em
, o ângulo inscrito
subtende o arco oposto a
(ou a
), o que faz com que
no sentido de que, pela simetria do isósceles, a projeção de
em
coincide em comprimento com
vezes 1. Assim
Passo 5
Comparando
segue imediatamente
Resposta
Está demonstrado que