Seja ABCD uma pirâmide tal que o incentro de ABC é a projeção de D na base ABC . Prove que as distâncias dos vértices
e C às faces opostas são inversamente proporcionais aos senos dos ângulos de ABC .
Passo 1
Resumo do enunciado. Temos a pirâmide
cuja base é o triângulo
e o pé da perpendicular de
sobre o plano
é exatamente o incentro
de
. Queremos mostrar que, se
,
e
são as distâncias de
,
e
às faces opostas (respectivamente
,
e
), então
Conteúdo: geometria do tetraedro (fórmulas de volume) + projeção ortogonal em plano + propriedades do incentro.
Passo 2
Expressão das distâncias em função de áreas e volume. Seja
o volume da pirâmide. Usando cada face como base:
onde
é a área do triângulo
e
é a altura de
sobre o plano
.
Dessa forma, para quaisquer dois vértices, por exemplo e
,
Dessa forma, para quaisquer dois vértices, por exemplo
Passo 3
Cálculo da razão
. Note que ambas as faces contêm o segmento
. Logo
onde
é a distância de um ponto
à reta
no espaço. Assim
Passo 4
Projeção ortogonal no plano
. Seja
o plano
. A projeção de
em
é
; a de
é
. Logo a projeção ortogonal da reta
em
é a reta
. É conhecido que, para qualquer reta fixa em 3D, a razão das distâncias de dois pontos quaisquer à reta é igual à razão das distâncias de suas projeções à projeção da reta, pois o fator
(ângulo entre a reta e o plano) se cancela. Assim
Passo 5
Cálculo de
e
no triângulo
. Como
é incentro, sua distância a cada lado é igual ao raio
do círculo inscrito. Em particular, a área de cada um dos triângulos
e
é
Por outro lado, a distância de
à reta
é
e semelhante para
. Mas é também conhecido que, no triângulo
,
Logo
Daí
onde fizemos
,
e usamos a Lei dos Senos em
.
Passo 6
Concluindo para as distâncias às faces. Combinando
e analogamente para os outros pares, obtemos
Resposta
As distâncias de
às faces opostas são inversamente proporcionais aos senos dos ângulos
de
.