Seja ABCD uma pirâmide tal que o incentro de ABC é a projeção de D na base ABC . Prove que as distâncias dos vértices \mathrm{A}, \mathrm{B} e C às faces opostas são inversamente proporcionais aos senos dos ângulos de ABC .

Passo 1

Resumo do enunciado. Temos a pirâmide ABCD cuja base é o triângulo ABC e o pé da perpendicular de D sobre o plano ABC é exatamente o incentro I de ABC. Queremos mostrar que, se h_A, h_B e h_C são as distâncias de A, B e C às faces opostas (respectivamente BCD, CDA e DAB), então
h_A : h_B : h_C \;=\; \frac1{\sin A} : \frac1{\sin B} : \frac1{\sin C}.
Conteúdo: geometria do tetraedro (fórmulas de volume) + projeção ortogonal em plano + propriedades do incentro.

Passo 2

Expressão das distâncias em função de áreas e volume. Seja V o volume da pirâmide. Usando cada face como base:
3V \;=\; \mathcal A_{BCD}\,h_A \;=\;\mathcal A_{CDA}\,h_B \;=\;\mathcal A_{DAB}\,h_C \;=\;\mathcal A_{ABC}\,DI,
onde \mathcal A_{XYZ} é a área do triângulo XYZ e DI é a altura de D sobre o plano ABC.
Dessa forma, para quaisquer dois vértices, por exemplo A e B,
\frac{h_A}{h_B} \;=\; \frac{\mathcal A_{CDA}}{\mathcal A_{BCD}}.

Passo 3

Cálculo da razão \mathcal A_{CDA}/\mathcal A_{BCD}. Note que ambas as faces contêm o segmento CD. Logo
\mathcal A_{CDA} \;=\; \frac12\;CD\;\bigl(d(A,CD)\bigr), \qquad \mathcal A_{BCD} \;=\; \frac12\;CD\;\bigl(d(B,CD)\bigr),
onde d(P,\,\ell) é a distância de um ponto P à reta \ell no espaço. Assim
\frac{\mathcal A_{CDA}}{\mathcal A_{BCD}} \;=\; \frac{d(A,\,CD)}{d(B,\,CD)}.

Passo 4

Projeção ortogonal no plano ABC. Seja \pi o plano ABC. A projeção de D em \pi é I; a de C é C. Logo a projeção ortogonal da reta CD em \pi é a reta CI. É conhecido que, para qualquer reta fixa em 3D, a razão das distâncias de dois pontos quaisquer à reta é igual à razão das distâncias de suas projeções à projeção da reta, pois o fator \cos\theta (ângulo entre a reta e o plano) se cancela. Assim
\frac{d(A,\,CD)}{d(B,\,CD)} \;=\; \frac{d(A,\,CI)}{d(B,\,CI)}.

Passo 5

Cálculo de d(A,\,CI) e d(B,\,CI) no triângulo ABC. Como I é incentro, sua distância a cada lado é igual ao raio r do círculo inscrito. Em particular, a área de cada um dos triângulos \triangle AIC e \triangle BIC é
\mathcal A_{AIC} =\tfrac12\,(AC)\,r, \quad \mathcal A_{BIC} =\tfrac12\,(BC)\,r.
Por outro lado, a distância de A à reta CI é
d(A,CI) =\frac{2\,\mathcal A_{AIC}}{CI} =\frac{(AC)\,r}{CI},
e semelhante para B. Mas é também conhecido que, no triângulo ABC,
CI \,\sin\frac C2 = r \quad\Longrightarrow\quad CI=\frac{r}{\sin\frac C2}.
Logo
d(A,CI) =\frac{(AC)\,r}{\,r/\sin\frac C2\,} =AC\;\sin\frac C2, \quad d(B,CI) =BC\;\sin\frac C2.
Daí
\frac{d(A,CI)}{d(B,CI)} =\frac{AC}{BC} \;=\; \frac{b}{a} \;=\; \frac{\sin B}{\sin A},
onde fizemos a=BC, b=CA e usamos a Lei dos Senos em ABC.

Passo 6

Concluindo para as distâncias às faces. Combinando
\frac{h_A}{h_B} =\frac{\mathcal A_{CDA}}{\mathcal A_{BCD}} =\frac{d(A,CD)}{d(B,CD)} =\frac{d(A,CI)}{d(B,CI)} =\frac{\sin B}{\sin A},
e analogamente para os outros pares, obtemos
h_A : h_B : h_C \;=\; \frac1{\sin A} : \frac1{\sin B} : \frac1{\sin C}.

Resposta

As distâncias de A,B,C às faces opostas são inversamente proporcionais aos senos dos ângulos \hat A,\hat B,\hat C de ABC.

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