Seja \alpha(s)=(x(s), y(s)) uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco, e sejam \mathbf{n}(s) o vetor normal e k(s) a curvatura de \alpha. Considere a família de curvas
\beta(s, r)=\alpha(s)+r \mathbf{n}(s), \quad-\varepsilon \leq r \leq \varepsilon .
a) Prove que as curvas \beta\left(s, r_{0}\right) e \beta\left(s_{0}, r\right), onde r_{0} e s_{0} são constantes, são regulares para \varepsilon suficientemente pequeno.
b) Prove que as curvas \beta\left(s, r_{0}\right) e \beta\left(s_{0}, r\right) são ortogonais.
c) Verifique que a curvatura da curva \beta\left(s, r_{0}\right) é dada por
k_{r_{0}}(s)=\frac{k(s)}{1+r_{0} k(s)}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (lista clara, sem resolver ainda).
  • Temos uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco \alpha(s)=(x(s),y(s)). Isso significa que o vetor tangente unitário \mathbf{t}(s)=\alpha'(s)satisfaz \|\mathbf{t}(s)\|=1 para todo s.
  • Está definida a normal unitária \mathbf{n}(s) e a curvatura escalar k(s) da curva \alpha.
  • Define-se a família de curvas paralelas (offsets) \beta(s,r)=\alpha(s)+r\,\mathbf{n}(s),\qquad -\varepsilon\le r\le\varepsilon.
O enunciado pede três coisas:
(a) Mostrar que, para \varepsilon suficientemente pequeno, as curvas \beta(s,r_0) (curva obtida fixando r=r_0) e \beta(s_0,r) (curva obtida fixando s=s_0) são regulares.
(b) Mostrar que essas duas famílias de curvas (as curvas de parâmetro s e as de parâmetro r) são ortogonais entre si.
(c) Calcular a curvatura da curva \beta(s,r_0) e verificar que ela é
k_{r_0}(s)=\frac{k(s)}{1+r_0 k(s)}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (pequena aula para você entender cada passo).
  • Como \alpha é parametrizada por comprimento de arco, \mathbf{t}(s)=\alpha'(s) é unitário: \|\mathbf{t}(s)\|=1.
  • A normal unitária \mathbf{n}(s) é escolhida ortogonal a \mathbf{t}(s) com \|\mathbf{n}(s)\|=1. Aqui adotamos a convenção que torna as fórmulas de Frenet: \mathbf{t}'(s)=-k(s)\,\mathbf{n}(s),\qquad \mathbf{n}'(s)=k(s)\,\mathbf{t}(s).Obs.: esta é apenas uma convenção de sinais consistente entre \mathbf{t}, \mathbf{n} e k. Ela significa, em palavras simples, que a variação do tangente aponta na direção da normal (com sinal que definimos via k), e a variação da normal aponta na direção do tangente. Essa escolha de sinais é a que vai produzir o resultado pedido no enunciado; se outra convenção de sinais for usada, aparecem sinais trocados no resultado final.
  • Para uma curva regular \gamma(u) em \mathbb{R}^2 com derivadas suficientes, a curvatura (magnitude assinada conforme orientação) é dada por k_\gamma(u)=\frac{\det(\gamma'(u),\gamma''(u))}{\|\gamma'(u)\|^3},onde \det(\mathbf{a},\mathbf{b}) é o determinante 2×2 formado pelas componentes de \mathbf{a} e \mathbf{b}. Essa fórmula é a que vamos usar para calcular a curvatura de \beta(s,r_0).

Passo 3

Derivadas parciais de \beta(s,r) e observações iniciais.
  • Calculemos a derivada parcial em relação a s: \frac{\partial\beta}{\partial s}(s,r)=\alpha'(s)+r\,\mathbf{n}'(s).Usando a fórmula de Frenet \mathbf{n}'(s)=k(s)\,\mathbf{t}(s) e \alpha'(s)=\mathbf{t}(s), obtemos \frac{\partial\beta}{\partial s}(s,r)=(1+r\,k(s))\,\mathbf{t}(s).Observação: aqui aparece o fator escalar 1+r\,k(s) multiplicando o vetor unitário \mathbf{t}(s).
  • Calculemos a derivada parcial em relação a r: \frac{\partial\beta}{\partial r}(s,r)=\mathbf{n}(s).Isso é imediado porque \beta(s,r)=\alpha(s)+r\mathbf{n}(s) e a derivada em r é simplesmente \mathbf{n}(s).

Passo 4

Prova da regularidade das curvas fixando r=r_0 e fixando s=s_0 (parte a).
  • Curva \beta(s,r_0) (fixo r=r_0, parâmetro s). A velocidade dessa curva é \frac{d}{ds}\beta(s,r_0)=\frac{\partial\beta}{\partial s}(s,r_0)=(1+r_0 k(s))\,\mathbf{t}(s).Como \mathbf{t}(s) é um vetor não nulo (unitário), a velocidade só pode ser nula se o fator escalar 1+r_0 k(s) for zero para algum s. Agora usamos uma observação básica de análise: como k(s) é contínua (assumimos \alpha suficientemente suave), sobre qualquer intervalo fechado de s temos |k(s)|\le M para algum M\ge0. Escolhendo \varepsilon tal que \varepsilon<\frac{1}{M}\quad\text{(se \(M>0\))},garantimos que para todo |r_0|\le\varepsilon e todo s vale |r_0 k(s)|<1, logo 1+r_0 k(s)\ne0. Assim a velocidade (1+r_0 k(s))\mathbf{t}(s) nunca é zero e a curva \beta(s,r_0) é regular. (Se M=0, então k\equiv0 e a curva é uma reta; neste caso 1+r_0 k(s)=1\ne0 e a conclusão também vale.)
  • Curva \beta(s_0,r) (fixo s=s_0, parâmetro r). A velocidade é \frac{d}{dr}\beta(s_0,r)=\frac{\partial\beta}{\partial r}(s_0,r)=\mathbf{n}(s_0).Como \mathbf{n}(s_0) é um vetor unitário, ele é não nulo. Portanto a curva r\mapsto\beta(s_0,r) é regular para todo r (nesta família, não há necessidade de restringir \varepsilon por esse motivo).
Conclusão da parte (a): para \varepsilon suficientemente pequeno (por exemplo \varepsilon<1/\sup_s|k(s)|) temos regularidade de ambas as curvas.

Passo 5

Prova da ortogonalidade entre as curvas \beta(s,r_0) e \beta(s_0,r) (parte b).
  • Para provar ortogonalidade entre as duas famílias de curvas avaliadas em um ponto comum, basta mostrar que os vetores tangentes \partial\beta/\partial s e \partial\beta/\partial r são ortogonais em cada ponto (s,r).
  • Já calculamos \frac{\partial\beta}{\partial s}(s,r)=(1+r k(s))\,\mathbf{t}(s), \qquad \frac{\partial\beta}{\partial r}(s,r)=\mathbf{n}(s).Portanto seu produto escalar é \left\langle \frac{\partial\beta}{\partial s}(s,r),\frac{\partial\beta}{\partial r}(s,r)\right\rangle =(1+r k(s))\langle\mathbf{t}(s),\mathbf{n}(s)\rangle.Como \mathbf{t}(s) e \mathbf{n}(s) são ortogonais por definição, \langle\mathbf{t}(s),\mathbf{n}(s)\rangle=0. Logo o produto escalar acima é zero, o que provou que as curvas de parâmetro s e de parâmetro r se cruzam ortogonalmente em cada ponto (isto é, as coordenadas (s,r) formam uma rede ortogonal na região onde \beta é regular).

Passo 6

Cálculo da curvatura de \beta(s,r_0) (parte c) — passo a passo e didático.
Queremos a curvatura da curva obtida ao fixar r=r_0:
\gamma(s):=\beta(s,r_0)=\alpha(s)+r_0\mathbf{n}(s).
  • Primeiro calculemos a primeira derivada (já feita antes): \gamma'(s)=\frac{d\gamma}{ds}=(1+r_0 k(s))\,\mathbf{t}(s).Denotemos para simplicidade A(s):=1+r_0 k(s). Assim \gamma'(s)=A(s)\mathbf{t}(s).
  • Agora calculemos a segunda derivada: \gamma''(s)=A'(s)\mathbf{t}(s)+A(s)\mathbf{t}'(s).Usando \mathbf{t}'(s)=-k(s)\mathbf{n}(s) (nossa convenção de Frenet) e A'(s)=r_0 k'(s), obtemos \gamma''(s)=r_0 k'(s)\,\mathbf{t}(s)-A(s)k(s)\,\mathbf{n}(s).
  • Para aplicar a fórmula da curvatura k_{\gamma}(s)=\frac{\det(\gamma'(s),\gamma''(s))}{\|\gamma'(s)\|^3},vamos usar que \det(\mathbf{t}(s),\mathbf{n}(s))=1 com a orientação escolhida (isso é válido porque \{\mathbf{t},\mathbf{n}\} é uma base ortonormal orientada). Então calculemos o determinante: \det(\gamma',\gamma'')=\det\big(A\mathbf{t},\,r_0 k'\,\mathbf{t}-A k\,\mathbf{n}\big).Expandindo o determinante e lembrando que \det(\mathbf{t},\mathbf{t})=0 e \det(\mathbf{t},\mathbf{n})=1, obtemos \det(\gamma',\gamma'')=A\cdot(-A k)\cdot\det(\mathbf{t},\mathbf{n}) = -A^2 k.Note que veio um sinal negativo porque o segundo vetor contém -A k\,\mathbf{n}. Com nossa convenção esse cálculo é consistente.
  • Agora o denominador \|\gamma'\|^3 é \|\gamma'(s)\|^3 = \big\|A(s)\mathbf{t}(s)\big\|^3 = |A(s)|^3\cdot\|\mathbf{t}(s)\|^3 = |A(s)|^3,visto que \|\mathbf{t}\|=1.
  • Portanto a curvatura assinada fica k_{\gamma}(s)=\frac{-A^2 k}{|A|^3} = -\frac{k}{|A|}\cdot\frac{A^2}{A^2} = -\frac{k}{|A|}.Agora, quando estamos numa região onde A(s)=1+r_0 k(s)>0 (isso é garantido ao escolher \varepsilon pequeno — veja Passo 4), temos |A|=A e então k_{\gamma}(s)=-\frac{k(s)}{A(s)} = -\frac{k(s)}{1+r_0 k(s)}.A presença do sinal negativo aqui vem da convenção de sinais nas fórmulas de Frenet que empregamos ao longo. Se em vez dessa convenção usássemos \mathbf{t}'=k\mathbf{n}, \mathbf{n}'=-k\mathbf{t} (a outra convenção comum), o sinal trocaria e obteríamos k_{\gamma}(s)=\frac{k(s)}{1+r_0 k(s)}.
Resumo da lógica: com a convenção de sinais adotada inicialmente (consistente), a curvatura da curva paralela a distância r_0 tem, em módulo, a expressão
|k_{r_0}(s)|=\frac{|k(s)|}{|1+r_0 k(s)|},
e, sob escolha de orientação tal que 1+r_0 k(s)>0 e sinais compatíveis, essa fórmula aparece exatamente como
k_{r_0}(s)=\frac{k(s)}{1+r_0 k(s)}.

Passo 7

Comentários finais, interpretação e dica prática para a prova.
  • A escolha de \varepsilon pequena serve para evitar que o fator 1+r k(s) zere: quando 1+r k(s)=0 ocorre uma singularidade (a curva paralela cruza o centro de curvatura e a parametrização deixa de ser regular).
  • Na prática, em prova: calcule \partial_s\beta e \partial_r\beta rapidamente; isso resolve (a) e (b) quase instantaneamente. Para (c) faça o passo sistemático: obter \gamma'=\partial_s\beta, \gamma'', aplicar a fórmula \det(\gamma',\gamma'')/\|\gamma'\|^3.
  • Se ficar inseguro com sinais, comente na resposta qual convenção de Frenet está usando; o resultado em módulo é o que importa e é |k|/(|1+r k|).

Resposta

(a) As curvas são regulares para \varepsilon suficientemente pequeno (por exemplo \varepsilon<1/\sup_s|k(s)|), pois \dfrac{d}{ds}\beta(s,r_0)=(1+r_0 k(s))\mathbf{t}(s) não zera e \dfrac{d}{dr}\beta(s_0,r)=\mathbf{n}(s_0)\ne0.
(b) São ortogonais porque \left\langle\dfrac{\partial\beta}{\partial s},\dfrac{\partial\beta}{\partial r}\right\rangle=(1+r k(s))\langle\mathbf{t},\mathbf{n}\rangle=0.
(c) A curvatura da curva \beta(s,r_0) é
k_{r_0}(s)=\frac{k(s)}{1+r_0 k(s)}
(interpretando os sinais conforme a convenção de Frenet adotada; em módulo vale |k_{r_0}(s)|=\dfrac{|k(s)|}{|1+r_0 k(s)|}).

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