Seja \beta: I \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma curva parametrizada que não passa pela origem. Se \beta\left(t_{0}\right) é o ponto do traço de \beta mais próximo da origem e \beta^{\prime}\left(t_{0}\right) \neq 0, mostre que o vetor posição \beta\left(t_{0}\right) é ortogonal a \beta^{\prime}\left(t_{0}\right).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • Há uma curva parametrizada \beta: I \to \mathbb{R}^2 que não passa pela origem.
  • O ponto \beta\left(t_0\right) é o ponto do traço de \beta mais próximo da origem (isto é, minimiza a distância da origem entre os pontos do traço).
  • Tem-se \beta'\left(t_0\right)\neq 0.
    O que se pede: mostrar que o vetor posição \beta\left(t_0\right) é ortogonal a \beta'\left(t_0\right). Em linguagem matemática, provar que
\beta\left(t_0\right)\cdot\beta'\left(t_0\right)=0.

Passo 2

Transformar o problema de distância em um problema de funções reais. Defina a função real
f(t)=\big\|\beta(t)\big\|^{2}.
Explicando devagar: se \beta(t)=(x(t),y(t)), então
\big\|\beta(t)\big\|^{2}=x(t)^{2}+y(t)^{2},
que é o quadrado da distância de \beta(t) à origem. Trabalhar com o quadrado da norma é mais conveniente que com a norma \big\|\beta(t)\big\|, porque f é diferenciável quando \beta é diferenciável, enquanto a norma absoluta poderia causar complicações de sinal. Observação útil: minimizar \big\|\beta(t)\big\| é equivalente a minimizar \big\|\beta(t)\big\|^{2}, pois a função s\mapsto s^{2} é estritamente crescente para s\ge0.

Passo 3

Usar a condição de mínimo para deduzir que a derivada de f em t_0 é zero. Mais claramente: como \beta\left(t_0\right) é o ponto do traço mais próximo da origem, tem-se
f(t)\ge f(t_0)\qquad\text{para todo }t\in I,
ou seja, t_0 é um ponto de mínimo de f. Como \beta é diferenciável em t_0, a função f também é diferenciável em t_0; portanto, sendo t_0 um mínimo local de uma função diferenciável em um ponto interior do domínio, vale
f'\big(t_0\big)=0.
(Nota rápida sobre regularidade: a existência de \beta'(t_0) e o fato de \beta'(t_0)\neq0 nos garante que podemos variar t por ambos os lados próximo de t_0, isto é, estamos diante de um mínimo no sentido usual que implica derivada zero.)

Passo 4

Calcular a derivada de f explicitamente em termos do produto escalar. Usando a regra da cadeia e as propriedades do produto escalar, temos, para todo t,
f(t)=\big\langle \beta(t),\beta(t)\big\rangle,
onde \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto escalar usual em \mathbb{R}^2. Diferenciando,
f'(t)=\big\langle \beta'(t),\beta(t)\big\rangle+\big\langle \beta(t),\beta'(t)\big\rangle = 2\big\langle \beta(t),\beta'(t)\big\rangle.
Se preferir ver em coordenadas: se \beta(t)=(x(t),y(t)) então f(t)=x(t)^2+y(t)^2 e
f'(t)=2x(t)x'(t)+2y(t)y'(t)=2\big(x(t)x'(t)+y(t)y'(t)\big)=2\beta(t)\cdot\beta'(t).

Passo 5

Aplicar o resultado do Passo 3 ao cálculo do Passo 4. Como f'(t_0)=0, pela fórmula do Passo 4 segue
0=f'\big(t_0\big)=2\big\langle \beta\big(t_0\big),\beta'\big(t_0\big)\big\rangle.
Dividindo por 2 obtemos
\big\langle \beta\big(t_0\big),\beta'\big(t_0\big)\big\rangle=0.

Passo 6

Interpretação geométrica e comentário prático para a prova. A igualdade \big\langle \beta(t_0),\beta'(t_0)\big\rangle=0 diz que o vetor posição \beta(t_0) é perpendicular ao vetor tangente \beta'(t_0) naquele ponto. Geometricamente: no ponto do traço mais próximo da origem a tendência infinitesimal de deslocamento ao longo da curva (a tangente) deve ser ortogonal ao vetor que liga esse ponto à origem; caso contrário, movendo-se um pouco na direção da tangente reduzir-se-ia a distância à origem, contradizendo a mínima distância. Um exemplo simples para fixar a ideia: se \beta(t) descreve um círculo centrado na origem, então no ponto de menor distância (no caso do círculo, todos os pontos têm a mesma distância) a tangente é ortogonal ao raio — é exatamente a mesma ideia.

Resposta

\beta\left(t_0\right)\cdot\beta'\left(t_0\right)=0

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