Seja \beta: I \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma curva parametrizada que não passa pela origem. Se \beta\left(t_{0}\right) é o ponto do traço de \beta mais próximo da origem e \beta^{\prime}\left(t_{0}\right) \neq 0, mostre que o vetor posição \beta\left(t_{0}\right) é ortogonal a \beta^{\prime}\left(t_{0}\right).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
Há uma curva parametrizada \beta: I \to \mathbb{R}^2 que não passa pela origem.
O ponto \beta\left(t_0\right) é o ponto do traço de \beta mais próximo da origem (isto é, minimiza a distância da origem entre os pontos do traço).
Tem-se \beta'\left(t_0\right)\neq 0.
O que se pede: mostrar que o vetor posição \beta\left(t_0\right) é ortogonal a \beta'\left(t_0\right). Em linguagem matemática, provar que
Transformar o problema de distância em um problema de funções reais. Defina a função real
f(t)=\big\|\beta(t)\big\|^{2}.
Explicando devagar: se \beta(t)=(x(t),y(t)), então
\big\|\beta(t)\big\|^{2}=x(t)^{2}+y(t)^{2},
que é o quadrado da distância de \beta(t) à origem. Trabalhar com o quadrado da norma é mais conveniente que com a norma \big\|\beta(t)\big\|, porque f é diferenciável quando \beta é diferenciável, enquanto a norma absoluta poderia causar complicações de sinal. Observação útil: minimizar \big\|\beta(t)\big\| é equivalente a minimizar \big\|\beta(t)\big\|^{2}, pois a função s\mapsto s^{2} é estritamente crescente para s\ge0.
Passo 3
Usar a condição de mínimo para deduzir que a derivada de f em t_0 é zero. Mais claramente: como \beta\left(t_0\right) é o ponto do traço mais próximo da origem, tem-se
f(t)\ge f(t_0)\qquad\text{para todo }t\in I,
ou seja, t_0 é um ponto de mínimo de f. Como \beta é diferenciável em t_0, a função f também é diferenciável em t_0; portanto, sendo t_0 um mínimo local de uma função diferenciável em um ponto interior do domínio, vale
f'\big(t_0\big)=0.
(Nota rápida sobre regularidade: a existência de \beta'(t_0) e o fato de \beta'(t_0)\neq0 nos garante que podemos variar t por ambos os lados próximo de t_0, isto é, estamos diante de um mínimo no sentido usual que implica derivada zero.)
Passo 4
Calcular a derivada de f explicitamente em termos do produto escalar. Usando a regra da cadeia e as propriedades do produto escalar, temos, para todo t,
f(t)=\big\langle \beta(t),\beta(t)\big\rangle,
onde \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto escalar usual em \mathbb{R}^2. Diferenciando,
Interpretação geométrica e comentário prático para a prova. A igualdade \big\langle \beta(t_0),\beta'(t_0)\big\rangle=0 diz que o vetor posição \beta(t_0) é perpendicular ao vetor tangente \beta'(t_0) naquele ponto. Geometricamente: no ponto do traço mais próximo da origem a tendência infinitesimal de deslocamento ao longo da curva (a tangente) deve ser ortogonal ao vetor que liga esse ponto à origem; caso contrário, movendo-se um pouco na direção da tangente reduzir-se-ia a distância à origem, contradizendo a mínima distância. Um exemplo simples para fixar a ideia: se \beta(t) descreve um círculo centrado na origem, então no ponto de menor distância (no caso do círculo, todos os pontos têm a mesma distância) a tangente é ortogonal ao raio — é exatamente a mesma ideia.